podzielność liczb

[leszczu450]

Cześć.

Dziś na ćwiczeniach miałem taki oto przykład:
Udowodnij, że \(\displaystyle{ 11 \cdot 31 | 20^{15} -1}\)

Oczywiśćie zabrałem się za to tak, że skoro jakąs liczbą jest podzielna przez iloczyn dwóch liczb to musi być podzielna zarówno przez pierwszą jak i drugą z nich. To znaczy rozłożyłem wyjściowe zadanie na pokazanie takiego czegos:
\(\displaystyle{ 11|20^{15} -1 \wedge 31|20^{15} -1}\)

Wszystko mi wyszło dobrze. Ale tu prowadzący powiedział, że wcale nie musiało pójść tak gładko gdyż taka równoważność :

\(\displaystyle{ ab|c \Leftrightarrow a|c \wedge b|c}\)

jest prawdziwa tylko gdy liczby \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze. Wprzeciwnym wypadku znaku równoważności nie mogę postawić.

I tutaj moje pytanie. Czemu tak jest? Dalibyście mi może kontrprzykład ? I w sumie dowód też by mi wiele dał : )

Z góry dziękuję za pomoc! : ))

[ares41]

\(\displaystyle{ 2|4 \ \wedge \ 4|4}\)
Ale \(\displaystyle{ 2 \cdot 4=8}\) nie dzieli liczby \(\displaystyle{ 4}\)

[leszczu450]

ares41, czyli dla wszystkich liczb(nie tylko liczb pierwszych) zachodzi implikacja w którą stronę ?-- 8 mar 2013, o 16:10 --Chyba taka \(\displaystyle{ ab|c \Rightarrow a|c \wedge b|c}\) , co nie?

[ares41]

Tak.

[leszczu450]

ares41, a dowód tego że równoważność zachodzi tylko dla iloczynu liczb względnie pierwszych ?

[ares41]

To, że równoważność zachodzi dla liczb względnie pierwszych wynika z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze.

Aby wykazać, że zachodzi tylko dla nich, załóż, że jest przeciwnie i zobacz co z tego wyniknie.

[leszczu450]

ares41, nie do końca jest to dla mnei wskazówka. Jednoznaczności rozkładu czego na co?

[Althorion]

Liczby naturalnej większej od jedynki na iloczyn liczb pierwszych.