Potęga dwójki o stu cyfrach, z czego pierwsza to 1

Ert · Post autor: **Ert** » 27 lut 2013, o 20:40

Czy istnieje naturalna potęga dwójki, która (w zapisie dziesiętnym) ma dokładnie 100 cyfr i jej pierwszą (od lewej) cyfrą jest jedynka? Odpowiedź uzasadnij.

smigol · Post autor: **smigol** » 27 lut 2013, o 20:50

Niech \(\displaystyle{ a=100...0}\) (wiadomo ile zer), niech \(\displaystyle{ n}\) będzie największą liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ 2^n}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ a}\)...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 lut 2013, o 20:54

Winno wyjść

\(\displaystyle{ 2^{329}=1093\ldots}\)

Post autor: **Ponewor** » 28 lut 2013, o 00:52

yorgin pisze:Winno wyjść

\(\displaystyle{ 2^{329}=1093\ldots}\)

Dowód, który proponuje smigol jest niekonstruktywny.

ksisquare · Post autor: **ksisquare** » 28 lut 2013, o 19:35

Smigol dał nie dowód, przeformułował tylko zadanie
\(\displaystyle{ \log_{10}(2^n)=\dots}\)

Post autor: **Ponewor** » 28 lut 2013, o 21:06

Nieprawda. smigol napisał jak zaczyna się jeden z możliwych (swoją drogą wzorcowy) dowodów. Przeformułowanie nastąpi dopiero w dalszej części.

ksisquare · Post autor: **ksisquare** » 28 lut 2013, o 21:37

myślę, że odwrotnie. Ale to tylko mój konik.

a tak na marginesie:

smigol · Post autor: **smigol** » 28 lut 2013, o 22:19

Nie rozumiem. Podałem wskazówkę jak zacząć rozwiązywania zadania. Nie widzę w niej jedynie przeformułowania zadania. W sumie to nawet nie widzę przeformułowania zadania.

ksisquare · Post autor: **ksisquare** » 28 lut 2013, o 22:33

dacie jeszcze jakiegoś kopa żeby zrozumieć?

Ert · Post autor: **Ert** » 1 mar 2013, o 17:49

Wskazówka okazała się niewystarczająca, nie mam pomysłu.

smigol · Post autor: **smigol** » 1 mar 2013, o 17:58

...Wtedy \(\displaystyle{ 2 \cdot 2^n}\) jest liczbą z przedziału...