Witam, Mam problem z wykazaniem faktu, że jeżeli dowolną liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ n}\) reprezentujemy w danym systemie o podstawie \(\displaystyle{ k > 1}\), gdzie reprezentacja jest postaci:
\(\displaystyle{ n =a_{s}k^{s} + a_{s-1}k^{s-1} + ... + a_{0}}\) to dwie różne reprezentacje w systemi o podstawie k reprezentują różne liczby całkowite. Wskazówka jest taka aby skorzystać z nierówności:
\(\displaystyle{ 0<n \le k^{s+1} - 1}\). Nierówność ta jest oczywista bo \(\displaystyle{ k^{s+1} -1 = \sum_{i=0}^{s} (k-1)k^{i}}\) czyli odpowiada to reprezentacji liczby n przy (s+1) cyfrach, gdzie poszczególne człony \(\displaystyle{ a_{i}}\) mają wartość maksymalną( równą \(\displaystyle{ k-1}\)). Czy ma ktoś jakiś pomysł jak to ruszyć?
Ja próbuję konstruować liczby typu \(\displaystyle{ n+1}\) czy \(\displaystyle{ n-1}\) ale nie dostaję żadnych sensownych nierówności, które mogłyby mi zapewnić jednoznaczność reprezentacji.
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
- dwukwiat15
- Użytkownik
- Posty: 246
- Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krobia
- Podziękował: 42 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
Podpowiedź:
Jeśli masz dwie różne reprezentacje w danym systemie, wybierz najpierw pierwszą cyfrę, którą te reprezentacje się różnią (pierwszą tzn. tą przy najwyższej potędze). Czy te dwie liczby mogą się znowu zrównać poprzez różnice cyfr przy niższych potęgach?
Jeśli masz dwie różne reprezentacje w danym systemie, wybierz najpierw pierwszą cyfrę, którą te reprezentacje się różnią (pierwszą tzn. tą przy najwyższej potędze). Czy te dwie liczby mogą się znowu zrównać poprzez różnice cyfr przy niższych potęgach?
- dwukwiat15
- Użytkownik
- Posty: 246
- Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krobia
- Podziękował: 42 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
Dziwnie napisałeś. Najpierw piszesz o cyfrach różniących się, które mają się zrównać? Trochę nierozumiem. Czy ta podpowiedź ma związek z nierównością którą napisałem jako podpowiedź?
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
Powiedzmy że mamy dwie reprezentacje \(\displaystyle{ \overline{a_{k}...a_{1}}=\overline{b_{s}...b_{1}}}\) gdzie oczywiście \(\displaystyle{ a_{k},...,a_{1},b_{s},...,b_{1}}\) to cyfry w danym systemie. Najpierw korzystając z nierówności pokaż, że \(\displaystyle{ k=s}\). Kiedy to już zrobisz wiedząc, że są to 2 różne reprezentacje, muszą się one różnić na co najmniej jednym miejscu, w szczególności wybierz pierwszą cyfrę, na której \(\displaystyle{ a_{l}\neq b_{l}}\). Pokaż wtedy, że z założenia, że \(\displaystyle{ a_{i}=b_{i} \ i=l,l+1,...,k}\) oraz \(\displaystyle{ a_{l}>b_{l}}\) będzie wynikać \(\displaystyle{ \overline{a_{k}...a_{1}}>\overline{b_{s}...b_{1}}}\). Analogicznie doprowadź do sprzeczności z \(\displaystyle{ a_{l}<b_{l}}\).
- dwukwiat15
- Użytkownik
- Posty: 246
- Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krobia
- Podziękował: 42 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
hmm według mnie nie da się wykazać, że k = s chociażby z tego względu, że \(\displaystyle{ a_{s} \neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ a_{k} \neq 0}\) z założenia, dlatego nie dopisuje się zer z przodu. Co o tym sądzisz? Chyba,że to chodzi o dowód nie wprost?
oraz \(\displaystyle{ a_{k} \neq 0}\) z założenia, dlatego nie dopisuje się zer z przodu. Co o tym sądzisz? Chyba,że to chodzi o dowód nie wprost?
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
Tak, chodzi o dowód nie wprost. Ok, chyba niezbyt jasno napisałem, spróbuję na przykładzie systemy dziesiętnego. Weźmy dowolną liczbę i jej dwie reprezentacje. Najpierw wykaż, że jeśli obie te reprezentacje dają tę samą liczbę, to muszą mieć tą samą ilość cyfr, inaczej ta z większą ilością cyfr byłaby większa, a ma być równa. Zatem mamy 2 reprezentacje o tej samej ilości cyfr, powiedzmy \(\displaystyle{ 1234x...}\) oraz \(\displaystyle{ 1234y...}\) gdzie \(\displaystyle{ x\neq y}\). Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ x>y}\) to \(\displaystyle{ 1234x... > 1234y...}\) niezależnie od tego jakie cyfry występują dalej. Wszystkie wnioski będą konsekwencją wspomnianej nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Dowód jednoznaczności systemie o podstawie k > 1
Moim zdaniem sprawniej jest zapewnić równość \(\displaystyle{ k=s}\) dopisując zera na początku. Wtedy nie trzeba dwa razy pisać tego samego.