Wykaż nierówność

[dwukwiat15]

Witam, mam problem z wykazaniem jednej własności. Postaram się opisać:

Załóżmy, że dowolna liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) jest reprezentowana w systemie o podstawie \(\displaystyle{ k > 1}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ n = a_{s}k^{s} + a_{s-1}k^{s-1} + ... + a_{0}}\) , gdzie oczywiście \(\displaystyle{ a_{i} \ge 0}\), \(\displaystyle{ a_{i} < k}\), \(\displaystyle{ a_{s} \neq 0}\)

Należy udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ 0 < n \le k^{s+1} - 1}\)

Wskazówka jest taka aby skorzystać z własności(którą zresztą można łatwo dowieść przez indukcję matematyczną):

\(\displaystyle{ k^{n} > n}\) dla \(\displaystyle{ k > 1}\) oczywiście.

Czy ktoś ma pomysł jak to udowodnić? Chyba czegoś tu nie potrafię zauważyć. Będę wdzięczny za pomoc .
Pozdrawiam.

[yorgin]

Ja bym to zrobił tak. Z założenia.

\(\displaystyle{ \forall\ i\qquad a_i\leq k-1}\)

Zatem

\(\displaystyle{ n\leq (k-1)(k^s+k^{s-1}+\ldots +k+1)=(k-1)\frac{1-k^{s+1}}{1-k}=k^{s+1}-1}\)

[dwukwiat15]

Dzięki. Przeczytałem chwilę twój post i już widzę, że to oczywiste
Tylko mała uwaga \(\displaystyle{ a_{i} \le k}\) bym poprawił na \(\displaystyle{ a_{i} < k}\) ale to tam zakładam, że przez przypadek się pomyliłeś

[yorgin]

Racja racja.

Albo \(\displaystyle{ a_i<k}\), albo \(\displaystyle{ a_i\leq k-1}\). Obie wersje są poprawne, a ja korzystam z tej drugiej.

[dwukwiat15]

No spoko. Zapomniałem jeszcze o jednej rzeczy i się pomyliłem. Powinienem napisać, że trzeba skorzystać z twierdzenia: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s} k^{s} = 1 + k + k^{2} + ... + k^{s} = \frac{k^{s+1}-1}{k-1}}\) ,którego użyłeś. Z tego to już jasno widać o co chodzi