Wykaż niewymierność

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 20 lut 2013, o 15:13

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}\) jest niewymierna.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 lut 2013, o 16:43

Można na przykład spróbować znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych taki, że Twoja liczba jest jego pierwiastkiem. I wtedy z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych dostać tezę.

Na przykład tak:

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\\
\\
x-\sqrt{5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\qquad |^2\\
\\
x^2-2x\sqrt{5}+5=5+2\sqrt{6}\\
\\
x^2=2x\sqrt{5}+2\sqrt{6}\qquad |^2\\
\\
x^4=20x^2+24+8x\sqrt{30}\\
\\
x^4-20x^2-24=8x\sqrt{30}\qquad |^2\\
\\
(x^4-20x^2-24)^2=1920x^2}\)

Vax · Post autor: **Vax** » 20 lut 2013, o 16:51

Najszybciej będzie zacząć tak jak yorgin ale końcówkę zrobić inaczej, gdyż sprawdzenie dzielników ostatniego wyrazu może nam trochę czasu zająć, a wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x^4-20x^2-24 = 8x\sqrt{30} \iff \sqrt{30} = \frac{x^4-20x^2-24}{8x}}\)

Z założenia nie wprost \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\) więc wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{30} \not\in \mathbb{Q}}\) co jest szybkie i łatwe.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 lut 2013, o 16:54

Super! Nie zauważyłem tego przejścia. Rzeczywiście przy moim podejściu wychodzą 32 dzielniki do sprawdzenia. Karkołomne zajęcie, ale nic lepszego nie przyszło.

samurajnowy · Post autor: **samurajnowy** » 21 lut 2013, o 00:13

A kto powiedział u Vaxa , że x należy do wymiernych nic na to nie wskazuje!

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lut 2013, o 00:14

Chyba nie rozumiesz idei dowodu nie wprost. A to właśnie jest robione.

samurajnowy · Post autor: **samurajnowy** » 21 lut 2013, o 01:30

doskonale rozumiem dowód nie wprost

stanley12 · Post autor: **stanley12** » 21 lut 2013, o 02:06

tez nie rozumiem

Z wikipedii dowód nie wprost: to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym.

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)taki że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\)

to jest teza prawda?

Post autor: **Ponewor** » 21 lut 2013, o 02:27

nie. To jest zaprzeczenie tezy. Teza mówi, że ta liczba jest niewymierna.

Sahesaro · Post autor: **Sahesaro** » 21 lut 2013, o 14:56

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)taki że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\)

To raczej bym nazwał hipotezą - zakładasz, że wyrażenie należy do wymiernych, a później sprawdzasz prawdziwość tego założenia, czyli otrzymujesz tezę.