Wykaż podzielność liczby

DeeLuffy · Post autor: **DeeLuffy** » 18 lut 2013, o 18:05

Witam.
Jestem dosyć zielony w tego typu zadaniach, więc jeśli ktoś mógłby dogłębnie mi wytłumaczyć jak rozwiązywać tego typu zadania to byłbym wdzięczny.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba \(\displaystyle{ n^{7}-n}\) jest podzielna przez 7.

Wyrażenie \(\displaystyle{ n^{7}-n}\) rozbiłem za pomocą wzorów skróconego mnożenia na:
\(\displaystyle{ n\left( n^{3}-1\right)\left( n^{3}+1\right)}\)
następnie, znów skorzystałem z wzorów skróconego mnożenia i doszedłem do:
\(\displaystyle{ n\left( n+1\right)\left( n-1\right)\left( n^{2}-n+1\right)\left( n^{2}+n+1\right)}\)
dalszego pomysłu nie mam,
z góry dziękuję za pomoc,
Dee

Althorion · Post autor: **Althorion** » 18 lut 2013, o 18:15

Rozważ kolejne możliwe reszty przy dzieleniu przez siedem. Jeśli \(\displaystyle{ n}\) daje resztę zero, to jest podzielny, więc i iloczyn jest podzielny. Jeśli daje resztę jeden, to wtedy podzielne jest \(\displaystyle{ n-1}\). Jeśli resztę dwa, to podzielne jest \(\displaystyle{ n^2 + n + 1}\) itd.

Można też od razu to zatłuc małym twierdzeniem Fermata.

Sahesaro · Post autor: **Sahesaro** » 18 lut 2013, o 18:16

Posłuż się małym twierdzeniem Fermata, a jeśli nie możesz z niego skorzystać, to popatrz na jego dowód - z pewnością Ci wiele ułatwi.

@edit znowu mnie wyprzedzają umysły wredne! :C

DeeLuffy · Post autor: **DeeLuffy** » 18 lut 2013, o 18:20

Nie mogę posłużyć się małym twierdzeniem Fermata,
Althorion, czy mógłbyś zacząć chociaż jak miałbym to rozpisywać?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 18 lut 2013, o 18:20

Dodanie lub odjęcie \(\displaystyle{ 7}\) nie wpływa na podzielność przez \(\displaystyle{ 7}\), więc weźmy:

\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2-n+1-7)(n^2+n+1-7)=\\\\=(n-1)n(n+1)(n^2-n-6)(n^2+n-6)=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}\)

i mamy iloczyn siedmiu kolejnych liczb, więc jedna dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\)

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 18 lut 2013, o 18:21

Indukcja. Zakładam, że \(\displaystyle{ 7|(k^{7}-k)}\). I wtedy dalej dla \(\displaystyle{ k+1}\). Right?

DeeLuffy · Post autor: **DeeLuffy** » 18 lut 2013, o 18:26

octahedron pisze:Dodanie lub odjęcie \(\displaystyle{ 7}\) nie wpływa na podzielność przez \(\displaystyle{ 7}\), więc weźmy:

\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2-n+1-7)(n^2+n+1-7)=\\\\=(n-1)n(n+1)(n^2-n-6)(n^2+n-6)=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}\)

i mamy iloczyn siedmiu kolejnych liczb, więc jedna dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\)

Dlaczego odjąłeś 7 tylko od dwóch ostatnich nawiasów?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 18 lut 2013, o 18:37

Bo nie muszę od wszystkich. Badam tylko podzielność, a ta się nie zmieni, jeśli do dowolnych czynników dodam lub odejmę wielokrotność \(\displaystyle{ 7}\).

DeeLuffy · Post autor: **DeeLuffy** » 18 lut 2013, o 18:45

Dziękuję za pomoc