ogólna postać liczby pierwszej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

Jak zrobić to zadanie?
Wykaż, że każda liczba pierwsza większa od trzech jest postaci \(\displaystyle{ 6n + 1}\) lub \(\displaystyle{ 6n + 5}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) należy do naturalnych.
Tu chyba uznają, że do naturalnych należy też zero.
Ostatnio zmieniony 16 lut 2013, o 00:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
szw1710

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: szw1710 »

Jedynka nie jest liczbą pierwszą.

Liczba \(\displaystyle{ 6n}\) jest parzysta, \(\displaystyle{ 6n+2}\) też parzysta, \(\displaystyle{ 6n+3}\) podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 6n+4}\) znów parzysta. I już - po sprawie.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

Ok, ale skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ 6n +1}\) przedstawia pierwszą?
Ostatnio zmieniony 16 lut 2013, o 00:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: Althorion »

Nie wiadomo. Czasem przedstawia, czasem nie. Nie o to Cię pytali, lecz o to, żebyś wykazał, że każda liczba parzysta większa od trzech jest właśnie w którejś z tych postaci.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

no jak to?
przecież wyraźnie pisze- pierwsza.
szw1710

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: szw1710 »

Jeśli jest pierwsza, to jest tej postaci. Ale... weź np. liczbę złożoną \(\displaystyle{ 25}\). Jest ona postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\). Jest worek zawierający wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) i \(\displaystyle{ 6n+5}\). W tym worku są wszystkie liczby pierwsze większe od trzech, ale też i inne liczby.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: smigol »

tukanik, zwróć uwagę na różnicę między następującymi zdaniami:
1. Pokazać, że każda liczba pierwsza jest postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) albo \(\displaystyle{ 6n+5}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.
2. Pokazać, że każda liczba postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) i każda liczba postaci \(\displaystyle{ 6n+5}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza.

Zdanie pierwsze to treść Twojego zadania, którego rozwiązanie przedstawił szw1710. Zdanie drugie to coś zupełnie innego od zdania pierwszego, między innymi dlatego, że to stwierdzenie jest nieprawdziwe, co również pokazał szw1710.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

dobrze- rozumiem.
W takim razie mamy pokazać, że każda liczba pierwsza jest postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) lub \(\displaystyle{ 6n + 5}\).
I teraz dowód szw1710:

Liczba 6n jest parzysta, \(\displaystyle{ 6n+2}\) też parzysta, \(\displaystyle{ 6n+3}\) podzielna przez \(\displaystyle{ 3, 6n+4}\) znów parzysta. I już - po sprawie.
1. Czyli pokazaliśmy, że wszystkie pozostałe liczby ( w sensie poza liczbami postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) lub \(\displaystyle{ 6n+2}\)) na pewno nie są pierwszymi.
2. Ale nie wiem, dlaczego z tego wynika fakt, że w takim razie \(\displaystyle{ 6n+1}\) oraz \(\displaystyle{ 6n+5}\) to postać każdej pierwszej?

I dlatego proszę o wytłumaczenie mi tego, bo bezsensownym byłoby nie zrozumieć, jak już tyle czasu na to poświęciłem.
Pozdrawiam

-- 15 lut 2013, o 22:11 --

aha, teraz mi tak przyszło do głowy takie coś:
Zaprzeczyliśmy, że wszystkie pozostałe liczby ( o innej postaci) dzielą się przez coś, zatem jeśli już, to możemy szukać pierwszych pośród wskazanych postaci, aczkolwiek nie są tylko to pierwsze.
Czy tak?
Ostatnio zmieniony 16 lut 2013, o 00:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: smigol »

tukanik pisze:
Zaprzeczyliśmy, że wszystkie pozostałe liczby ( o innej postaci) dzielą się przez coś
Czy tak?
Wydaje mi się, że masz na myśli poprawne stwierdzenie, ale to co napisałeś nie jest prawdą. Zastanów się dlaczego. Matematyka to między innymi precyzyjne wypowiadanie się.
zatem jeśli już, to możemy szukać pierwszych pośród wskazanych postaci, aczkolwiek nie są tylko to pierwsze.
Tak, to właśnie pokazaliśmy i tylko to mieliśmy pokazać! (Patrz mój poprzedni post w tym temacie!)
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

Zaprzeczyliśmy, że wszystkie pozostałe liczby ( o innej postaci) dzielą się przez coś
Czy tak?
Tak, rzeczywiście źle się wyraziłem.
Pokazaliśmy, że wszystkie pozostałe liczby ( o innej postaci) dzielą się przez coś ekstra( mam tu na myśli nie samą siebie i nie jedynkę).
Teraz ok?
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: smigol »

Teraz OK -- 15 lutego 2013, 22:48 --To masz zadanie ekstra:

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 24}\).
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

zanim przejdę mam pytanie.
trójka jest liczbą pierwszą a nie spełnia.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: anna_ »

Jest napisane:
tukanik pisze: Wykaż, że każda liczba pierwsza większa od trzech jest postaci \(\displaystyle{ 6n +1}\) lub \(\displaystyle{ 6n + 5}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) należy do naturalnych.
A w tym wyżej ma być pewnie \(\displaystyle{ p \ge 5}\)
Ostatnio zmieniony 16 lut 2013, o 00:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: tukanik »

mi chodzi o to zadanie :
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 24}\).
Ostatnio zmieniony 15 lut 2013, o 23:25 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

ogólna postać liczby pierwszej

Post autor: smigol »

anna_ ma oczywiście racje. W moim zadaniu brakuje założenia, że \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą większą od \(\displaystyle{ 3}\).
ODPOWIEDZ