Próbuję zrobić to zadanie od dłuższego czasu i chyba złapałem blokadę, proszę chociaż o wskazówki.
Udowodnij że dla \(\displaystyle{ n\in N}\) \(\displaystyle{ n ^{2} -n+9}\) nie dzieli się przez 49.
Próbowałem z indukcji ale przy ostatnim kroku nie mogłem już nic wykminić.
Wykaż brak podzielności
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż brak podzielności
Gdyby \(\displaystyle{ 49}\) dzieliło \(\displaystyle{ n^2-n+9}\), to dzieliłoby także liczbę:
\(\displaystyle{ 4( n^2-n+9) = (2n-1)^2+35}\).
Ale jeśli ta liczba miałaby być podzielna przez siedem, to \(\displaystyle{ 2n-1}\) musiałoby być podzielne przez siedem, a w takim razie \(\displaystyle{ (2n-1)^2}\) musiałoby być podzielne przez \(\displaystyle{ 49}\). W takim razie całość podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\) być nie może.
Q.
\(\displaystyle{ 4( n^2-n+9) = (2n-1)^2+35}\).
Ale jeśli ta liczba miałaby być podzielna przez siedem, to \(\displaystyle{ 2n-1}\) musiałoby być podzielne przez siedem, a w takim razie \(\displaystyle{ (2n-1)^2}\) musiałoby być podzielne przez \(\displaystyle{ 49}\). W takim razie całość podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\) być nie może.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Wykaż brak podzielności
Albo podobnie:
\(\displaystyle{ n^2-n+9=n^2-n-12+21=(n+3)(n-4)+21}\)
i wtedy albo obie liczby \(\displaystyle{ n-4,n+3}\) dzielą się przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli ich iloczyn przez \(\displaystyle{ 49}\), albo żadna się nie dzieli.
\(\displaystyle{ n^2-n+9=n^2-n-12+21=(n+3)(n-4)+21}\)
i wtedy albo obie liczby \(\displaystyle{ n-4,n+3}\) dzielą się przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli ich iloczyn przez \(\displaystyle{ 49}\), albo żadna się nie dzieli.
Wykaż brak podzielności
Ale wtedy trzeba by dowieść że w razie niepodzielnośći suma reszt z dzielenia tez jest niepodzielna.
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Wykaż brak podzielności
Ale \(\displaystyle{ (n+3)(n-4)}\) się nie dzielą wtedy przez \(\displaystyle{ 7}\), więc \(\displaystyle{ (n+3)(n-4)+21}\) też się nie dzieli, zatem przez \(\displaystyle{ 49}\) się nie może dzielić.