Teoria Cantora do konstrukcji zb.liczb R, liczby niewymierne

[Grzanka]

Witajcie,

Na początek zacytuje z książki H.Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej":
Klasa \(\displaystyle{ ||(a_n)||_{n\in\mathbb{N}}}\) wyznacza liczbę rzeczywistą, do której zbieżne są wszystkie ciągi \(\displaystyle{ (b_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) o wyrazach wymiernych spełniające warunek (Cauchy'ego zbieżności) i takie, że \(\displaystyle{ a_n \approx b_n}\)."

warunek Cauchy'ego zbieżności:
"dla każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n_0}\), taka, ze dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) warunek \(\displaystyle{ n>n_0}\) pociąga za sobą \(\displaystyle{ |a_n - a_{n+k}| < \epsilon}\)"

Przy konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych w def.zbioru liczb rzeczywistych jest mowa o klasie równoważności... gdzie ciągi \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są ciągami o wyrazach wymiernych... spełniające war.Cauchy'ego...
Zastanawia mnie fakt, jak to jest, jaki jest przykład dla klasy równoważności \(\displaystyle{ \approx}\) zdefiniowanej jako
\(\displaystyle{ (a_n) \approx (b_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = 0}\), która definiuje ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH, (które też są liczbami rzeczywistymi przecież)?? jaka jest klasa abstrakcji wyznaczająca na przykład liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)???

[Spektralny]

Reprezentantem takiej klasy jest ciąg przybliżeń dziesiętnych liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).