Składnik potęgi liczby

[majczalek]

W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia \(\displaystyle{ (x ^{2}y + \frac{1}{ \sqrt[10]{8} }) ^{16}}\) znaleźć składnik, w którym występuje \(\displaystyle{ x ^{12}}\).

Proszę o pomoc z tym zadaniem, nie wiem jak je rozwiązać.

[vpprof]

Pytanie #1:
\(\displaystyle{ a=x ^{2}y}\)
Do której potęgi należy podnieść \(\displaystyle{ a}\), żeby otrzymać coś, co zawiera \(\displaystyle{ x^{12}}\)?

Pytanie #2:
\(\displaystyle{ a}\) podniesione do tej potęgi będzie występowało w rozwinięciu \(\displaystyle{ (x ^{2}y + \frac{1}{ \sqrt[10]{8} }) ^{16}}\). Iloczyn których wyrazów może dać \(\displaystyle{ a}\) w tej potędze?

Odpowiedź: trzeba obliczyć sumę wszystkich tych iloczynów wyrazów, w których to iloczynach \(\displaystyle{ a}\) występuje w rzeczonej potędze; otrzymasz \(\displaystyle{ a^{?} \cdot ?}\), gdzie podstawisz \(\displaystyle{ a=x ^{2}y}\).

Trzeba przypomnieć sobie, jak oblicza się współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{w}}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ \left( a+b\right)^{n}}\).

[majczalek]

Właśnie problem w tym, że ciężko mi sobie cokolwiek przypomnieć, gdyż nie miałem tego przerabianego na ćwiczeniach, a na egzaminie już się pojawiło
No to próbuję:

\(\displaystyle{ a = x ^{2}y}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{1}{ \sqrt[10]{8} }}\)
\(\displaystyle{ (x ^{2}y + \frac{1}{ \sqrt[10]{8} } ) ^{16} = (a + b) ^{16}}\)

Pytanie #1:
\(\displaystyle{ a ^{6} = x ^{12} y ^{6}}\)

Pytanie #2:
Nie za bardzo rozumiem jaki iloczyn... Chyba, że chodzi o
\(\displaystyle{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}\)?

W odpowiedzi występuje \(\displaystyle{ a}\) w potędze siódmej czy wpisano znak zapytania?

[vpprof]

OK Tam był znak zapytania a z tą sumą iloczynów to prawda, tyle że to jest dla wielomianów a tu jest tylko dwumian, o czym zapomniałem, więc jest dużo prościej.

\(\displaystyle{ \left( a+b\right) ^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a ^{n-k}b ^{k}}\)

Więc wyraz z \(\displaystyle{ a^6}\) to:
\(\displaystyle{ {16 \choose 10} a^{6}b^{10} = 1001 x^{12}y^{6}}\)

[majczalek]

Dziękuję za pomoc, chyba rozumiem. A co należy zrobić w wypadku, gdyby w treści zadania zamiast wyrazu jaki jest, byłoby \(\displaystyle{ x}\) do potęgi nieparzystej? Należy jakoś wyznaczyć np za pomocą \(\displaystyle{ a ^{5 \frac{1}{2} }}\)?

Hmm.. chociaż tak się teraz zastanawiam, że chyba \(\displaystyle{ x}\) nie może osiągnąć potęgi nieparzystej

Czyli w wypadku jakbym miał wyznaczyć \(\displaystyle{ x ^{6}}\) to będzie:

\(\displaystyle{ {16 \choose 13} a ^{3}b ^{13} = \frac{560x ^{6} y ^{3} }{ 8 ^{3} }}\)?

[vpprof]

Dziękuję za pomoc, chyba rozumiem. A co należy zrobić w wypadku, gdyby w treści zadania zamiast wyrazu jaki jest, byłoby \(\displaystyle{ x}\) do potęgi nieparzystej? Należy jakoś wyznaczyć np za pomocą \(\displaystyle{ a ^{5 \frac{1}{2} }}\)?

Hmm.. chociaż tak się teraz zastanawiam, że chyba \(\displaystyle{ x}\) nie może osiągnąć potęgi nieparzystej

Jeśli \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to ani \(\displaystyle{ a}\) ani \(\displaystyle{ b}\) nie mogą wystąpić w ułamkowych potęgach — z tej prostej przyczyny, że w nawiasie są w potędze pierwszej, a wymnażanie ich powoduje dodawanie się wykładników, czyli najmniejszą różnicą między wykładnikami może być \(\displaystyle{ 1}\). Istnieje uogólnienie na l. zespolone, czyli \(\displaystyle{ n \in \mathbb{C}}\) i tam mogą być wykładniki zespolone. Ale zasada jest ta sama.

Czyli w wypadku jakbym miał wyznaczyć \(\displaystyle{ x ^{6}}\) to będzie:

\(\displaystyle{ {16 \choose 13} a ^{3}b ^{13} = \frac{560x ^{6} y ^{3} }{ 8 ^{3} }}\)?

Nie, \(\displaystyle{ b=\frac{1}{ \sqrt[10]{8} }=8^{- \frac{1}{10} }}\), więc \(\displaystyle{ b^{13}=8^{- \frac{13}{10} }= \frac{1}{\sqrt[10]{8^{13}}}}\). Podnosząc do potęgi coś, co już jest podniesione do potęgi, mnoży się wykładniki, a nie dodaje.

Natomiast pochodzenie wzoru \(\displaystyle{ \left( a+b\right) ^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a ^{n-k}b ^{k}}\) jest bardzo proste: masz \(\displaystyle{ n}\) nawiasów mnożonych przez siebie, co polega na utworzeniu iloczynu złożonego z jednego elementu z każdego nawiasu (czyli iloczynu \(\displaystyle{ n}\) czynników), potem dodaniu go do następnego takiego iloczynu itd. (To jest ta suma iloczynów, o której mówiłem na początku, tylko że dwumian jest bardzo prosty i nie trzeba o tym myśleć.) Czyli wychodzą ci takie iloczyny:
\(\displaystyle{ \underbrace{aaaaa…a}_{n},\underbrace{aaaaa…b}_{n}}\) itd. Każdy z nich ma \(\displaystyle{ n}\) czynników i każdy z tych czynników może być równy albo \(\displaystyle{ a}\) albo \(\displaystyle{ b}\), czyli wszystkich takich iloczynów jest \(\displaystyle{ 2^n}\). Przy okazji staje się oczywiste, dlaczego wykładnik przy \(\displaystyle{ a}\) i wykładnik przy \(\displaystyle{ b}\) w każdym wyrazie muszą się sumować do \(\displaystyle{ n}\).

Jeśli chcesz wiedzieć, ile będzie iloczynów takich, że \(\displaystyle{ a}\) będzie w \(\displaystyle{ k}\)-tej potędze (więc automatycznie \(\displaystyle{ b}\) będzie w potędze \(\displaystyle{ n-k}\)), to pytasz po prostu, na ile sposobów można z \(\displaystyle{ n}\) elementów wybrać \(\displaystyle{ k}\) elementów (to mają być twoje \(\displaystyle{ a}\), reszta to \(\displaystyle{ b}\)), co jest oczywiście równe \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Stąd te współczynniki dwumianowe.

Kombinatoryka jest podstawą w takich przekształceniach

[majczalek]

Jeśli chcesz wiedzieć, ile będzie iloczynów takich, że \(\displaystyle{ a}\) będzie w \(\displaystyle{ k}\)-tej potędze (więc automatycznie \(\displaystyle{ b}\) będzie w potędze \(\displaystyle{ n-k}\)), to pytasz po prostu, na ile sposobów można z \(\displaystyle{ n}\) elementów wybrać \(\displaystyle{ k}\) elementów (to mają być twoje \(\displaystyle{ a}\), reszta to \(\displaystyle{ b}\)), co jest oczywiście równe \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Stąd te współczynniki dwumianowe.

A nie \(\displaystyle{ a}\) w potędze \(\displaystyle{ n-k}\), a \(\displaystyle{ b}\) w potędze \(\displaystyle{ k}\)? Przynajmniej tak ze wzoru zrozumiałem, bo jeśli byłoby na odwrót to nie byłby wzór:

\(\displaystyle{ {n \choose n-k} a ^{k} b ^{n-k}}\)?

[vpprof]

Jeśli chcesz wiedzieć, ile będzie iloczynów takich, że \(\displaystyle{ a}\) będzie w \(\displaystyle{ k}\)-tej potędze (więc automatycznie \(\displaystyle{ b}\) będzie w potędze \(\displaystyle{ n-k}\)), to pytasz po prostu, na ile sposobów można z \(\displaystyle{ n}\) elementów wybrać \(\displaystyle{ k}\) elementów (to mają być twoje \(\displaystyle{ a}\), reszta to \(\displaystyle{ b}\)), co jest oczywiście równe \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Stąd te współczynniki dwumianowe.

A nie \(\displaystyle{ a}\) w potędze \(\displaystyle{ n-k}\), a \(\displaystyle{ b}\) w potędze \(\displaystyle{ k}\)? Przynajmniej tak ze wzoru zrozumiałem, bo jeśli byłoby na odwrót to nie byłby wzór:

\(\displaystyle{ {n \choose n-k} a ^{k} b ^{n-k}}\)?

No właśnie to jest całe piękno kombinacji bez powtórzeń, że \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\), bo wybierając np. 6 elementów z 16 pozostawiasz resztę 10 elementów „niewybranych” czyli to tak jak gdybyś wybierał 10 a pozostawiał 6 niewybranych (wybrany/niewybrany to przecież tylko etykietki!).

Jak pisałem, wykładniki muszą sumować się do \(\displaystyle{ n}\), więc może to być zarówno \(\displaystyle{ a^kb^{n-k}}\) jak i \(\displaystyle{ a^{n-k}b^k}\) — wyjdzie zawsze to samo.

[majczalek]

Rzeczywiście, oczywiście zapomniałem o tej własności
Dziękuję za pomoc z rozwiązaniem.