Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 8 wrz 2011, o 17:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Świebodzice
- Podziękował: 13 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Wykazać, że dla każdego naturalnego n liczba \(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}}\)
Proszę o pomoc.
Proszę o pomoc.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Mamy pokazać, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) dane wyrażenie jest całkowite? Jeżeli tak, to niech \(\displaystyle{ a_n = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}\), zauważ, że wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = ((2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})) \cdot ((2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n) - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n = 4a_n - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^{n-1} - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - (2-\sqrt{3})^{n-1}-(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - a_{n-1}}\)
Stąd jeżeli dwa poprzednie wyrazy ciągu są całkowite, to kolejny też jest, pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ a_0 = 2 \ , \ a_1 = 4}\) co pociąga tezę.
\(\displaystyle{ a_{n+1} = ((2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})) \cdot ((2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n) - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n = 4a_n - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^{n-1} - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - (2-\sqrt{3})^{n-1}-(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - a_{n-1}}\)
Stąd jeżeli dwa poprzednie wyrazy ciągu są całkowite, to kolejny też jest, pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ a_0 = 2 \ , \ a_1 = 4}\) co pociąga tezę.
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 8 wrz 2011, o 17:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Świebodzice
- Podziękował: 13 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
że jest naturalne ...
nie rozumie, czemu odejmujesz \(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3} )(2- \sqrt{3}) ^{n} - ( 2 - \sqrt{3})( 2 + \sqrt{3} ) ^{n}}\) ? I wogóle ... co to właściwie jest ?
Sorki, może za głupie pytania, ale jestem "świeżak " w temacie i nie ogarniam ...
nie rozumie, czemu odejmujesz \(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3} )(2- \sqrt{3}) ^{n} - ( 2 - \sqrt{3})( 2 + \sqrt{3} ) ^{n}}\) ? I wogóle ... co to właściwie jest ?
Sorki, może za głupie pytania, ale jestem "świeżak " w temacie i nie ogarniam ...
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Kolega Vax zauważył, że jeśli przyjmiemy oznaczenie
\(\displaystyle{ a_n = ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}}\)
To taki ciąg spełnia równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}}\)
Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.
\(\displaystyle{ a_n = ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}}\)
To taki ciąg spełnia równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}}\)
Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 8 wrz 2011, o 17:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Świebodzice
- Podziękował: 13 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Czyli to \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})^n) - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n}\) Jest jakby tą dwójką z \(\displaystyle{ a_{n+2}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).Marcinek665 pisze:Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.
koktajlik, możesz sprecyzować swoją myśl?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Dlaczego rosnący?kamil13151 pisze: Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).
Ciąg \(\displaystyle{ b_n=-a_n}\) jest malejący, każdy wyraz jest liczbą naturalna.
Ciąg \(\displaystyle{ c_n=1+(-1)^n}\) jest ani malejący, ani rosnący, a i tak jego wyrazy to liczby naturalne.
Dodatkowo, gdyby faktycznie należało pokazać, że ciąg jest monotoniczny, to opuszczając ten warunek winno się znaleźć przykład pokazujący, że wyrazy nie muszą być liczbami naturalnymi. Albo ten warunek jest konieczny, albo do niczego potrzebny. Nie widzę, w jaki sposób ma on ingerować w to, że wyrazy ciągu (wszystkie wyrazy) będą naturalne.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Żeby to jeszcze był jakiś ciąg, a tu nic nie jest sprecyzowane. Zauważ, że mamy pokazać dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, iż wyrażenie jest całkowite, a żeby pokazać, że jest naturalne: różnica \(\displaystyle{ 4a_{n+1}-a_{n}}\) musi być nieujemna (przyjmując, że zero należy do naturalnych) i to właśnie trzeba pokazać, owszem nie musimy monotoniczności (ale zauważyłem, że zachodzi).yorgin pisze:Ciąg \(\displaystyle{ b_n=-a_n}\) jest malejący, każdy wyraz jest liczbą naturalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 251
- Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Great Plains
- Podziękował: 86 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Tak w ogóle to nieujemność \(\displaystyle{ 4a_{n+1}-a_{n}}\) wynika wprost ze wzoru jawnego tego ciągu, ale zgoda, że warto o tym wspomnieć w zadaniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Poprawna, bo ciąg jest w oczywisty sposób rosnący.kamil13151 pisze:Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).Marcinek665 pisze:Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Chylę czoła elegancji rozwiązania Vaxa, acz można to było zrobić jeszcze tak:
\(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}
= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\sqrt{3^{i}}+\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\left(-1\right)^{i}\sqrt{3^{i}}=\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\sqrt{3^{2i}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\sqrt{3^{2i+1}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\left(-1\right)^{2i}\sqrt{3^{2i}}+ \displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\left(-1\right)^{2i+1}\sqrt{3^{2i+1}}=\displaystyle 2\sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\cdot3^{i}}\)
co niewątpliwie jest naturalne.
\(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}
= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\sqrt{3^{i}}+\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\left(-1\right)^{i}\sqrt{3^{i}}=\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\sqrt{3^{2i}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\sqrt{3^{2i+1}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\left(-1\right)^{2i}\sqrt{3^{2i}}+ \displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\left(-1\right)^{2i+1}\sqrt{3^{2i+1}}=\displaystyle 2\sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\cdot3^{i}}\)
co niewątpliwie jest naturalne.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna
Różnica liczb jest w oczywisty sposób rosnąca? Jak myślisz, na OM by Ci "taką" oczywistość zapunktowali?Marcinek665 pisze:Poprawna, bo ciąg jest w oczywisty sposób rosnący.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy