Wykaż, że dla dowolnego n liczba jest naturalna

[koktajlik]

Wykazać, że dla każdego naturalnego n liczba \(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}}\)

Proszę o pomoc.

[Vax]

Mamy pokazać, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) dane wyrażenie jest całkowite? Jeżeli tak, to niech \(\displaystyle{ a_n = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}\), zauważ, że wtedy:

\(\displaystyle{ a_{n+1} = ((2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})) \cdot ((2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n) - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n = 4a_n - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^{n-1} - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - (2-\sqrt{3})^{n-1}-(2+\sqrt{3})^{n-1} = 4a_n - a_{n-1}}\)

Stąd jeżeli dwa poprzednie wyrazy ciągu są całkowite, to kolejny też jest, pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ a_0 = 2 \ , \ a_1 = 4}\) co pociąga tezę.

[koktajlik]

że jest naturalne ...

nie rozumie, czemu odejmujesz \(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3} )(2- \sqrt{3}) ^{n} - ( 2 - \sqrt{3})( 2 + \sqrt{3} ) ^{n}}\) ? I wogóle ... co to właściwie jest ?

Sorki, może za głupie pytania, ale jestem "świeżak " w temacie i nie ogarniam ...

[Marcinek665]

Kolega Vax zauważył, że jeśli przyjmiemy oznaczenie

\(\displaystyle{ a_n = ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}}\)

To taki ciąg spełnia równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}}\)

Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.

[koktajlik]

Czyli to \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})^n) - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n}\) Jest jakby tą dwójką z \(\displaystyle{ a_{n+2}}\)?

[kamil13151]

Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.

Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).

koktajlik, możesz sprecyzować swoją myśl?

[yorgin]

Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).

Dlaczego rosnący?

Ciąg \(\displaystyle{ b_n=-a_n}\) jest malejący, każdy wyraz jest liczbą naturalna.

Ciąg \(\displaystyle{ c_n=1+(-1)^n}\) jest ani malejący, ani rosnący, a i tak jego wyrazy to liczby naturalne.



Dodatkowo, gdyby faktycznie należało pokazać, że ciąg jest monotoniczny, to opuszczając ten warunek winno się znaleźć przykład pokazujący, że wyrazy nie muszą być liczbami naturalnymi. Albo ten warunek jest konieczny, albo do niczego potrzebny. Nie widzę, w jaki sposób ma on ingerować w to, że wyrazy ciągu (wszystkie wyrazy) będą naturalne.

[kamil13151]

Ciąg \(\displaystyle{ b_n=-a_n}\) jest malejący, każdy wyraz jest liczbą naturalna.

Żeby to jeszcze był jakiś ciąg, a tu nic nie jest sprecyzowane. Zauważ, że mamy pokazać dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, iż wyrażenie jest całkowite, a żeby pokazać, że jest naturalne: różnica \(\displaystyle{ 4a_{n+1}-a_{n}}\) musi być nieujemna (przyjmując, że zero należy do naturalnych) i to właśnie trzeba pokazać, owszem nie musimy monotoniczności (ale zauważyłem, że zachodzi).

[yorgin]

Masakra, jakie przeoczenie zrobiłem... Dzięki

[theoldwest]

Tak w ogóle to nieujemność \(\displaystyle{ 4a_{n+1}-a_{n}}\) wynika wprost ze wzoru jawnego tego ciągu, ale zgoda, że warto o tym wspomnieć w zadaniu.

[Marcinek665]

Ale skoro pierwsze dwa wyrazy są naturalne, a każdy kolejny zależy wyłącznie od dwóch poprzednich, to jest on również naturalny.

Błędna implikacja, do takiego wniosku trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest rosnący (o ile jest).

Poprawna, bo ciąg jest w oczywisty sposób rosnący.

[Ponewor]

Chylę czoła elegancji rozwiązania Vaxa, acz można to było zrobić jeszcze tak:
\(\displaystyle{ ( 2 + \sqrt{3}) ^{n} + ( 2 - \sqrt{3} ) ^{n}
= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\sqrt{3^{i}}+\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{n-i}\left(-1\right)^{i}\sqrt{3^{i}}=\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\sqrt{3^{2i}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\sqrt{3^{2i+1}}+\displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\left(-1\right)^{2i}\sqrt{3^{2i}}+ \displaystyle \sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i+1}2^{n-2i-1}\left(-1\right)^{2i+1}\sqrt{3^{2i+1}}=\displaystyle 2\sum_{i=0}^{\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n}{2i}2^{n-2i}\cdot3^{i}}\)
co niewątpliwie jest naturalne.

[kamil13151]

Poprawna, bo ciąg jest w oczywisty sposób rosnący.

Różnica liczb jest w oczywisty sposób rosnąca? Jak myślisz, na OM by Ci "taką" oczywistość zapunktowali?

[smigol]

Tak.

[Marcinek665]

Tak.