Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Dovv90 »

Witam,
mam takie zadanie: wiadomo, że liczba x jest liczbą niewymierną. Niewymierna jest też na pewno liczba:

\(\displaystyle{ x^2}\)

\(\displaystyle{ 2x}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{x}}\)

\(\displaystyle{ x+ \sqrt{2}}\)

No i tak- myślalem zeby wziac jakas liczbe niewymierną, więc wziąłem \(\displaystyle{ \sqrt{27}}\)
No i podstawiałem pod te liczby i w trzech przypadach wyszło mi:

\(\displaystyle{ \sqrt{27} ^2=27}\) WYMIERNA

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{27}}\) NIEWYMIERNA?

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{27} } = \frac{ \sqrt{2} }{3 \sqrt{3} }}\) NIEWYMIERNA?

\(\displaystyle{ \sqrt{27} + \sqrt{2} =3 \sqrt{3} + \sqrt{2}}\) NIEWYMIERNA?


Nie wiem, to jakoś inaczej trzeba zrobić? Nie mam do tego takiej odpowiedzi, że aż trzy będą niewymierne.

Z góry dziękuję
Pozdrawiam
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: norwimaj »

To, co zrobiłeś, pozwala na stwierdzenie, że odpowiedź a) jest niepoprawna. Podstawiając inne liczby powinieneś wywnioskować, że odpowiedzi c) i d) też są niepoprawne. Odpowiedź b) jest poprawna, co można udowodnić nie wprost.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Althorion »

Jeśli interesują Cię kontrprzykłady dla pozostałych, to dla \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wymierne jest c), a dla \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) d).
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Dovv90 »

Hmm, dzięki za obie odpowiedzi, ale chyba się pogubiłem. To znaczy tutaj mam waszą pomoc, ale dlaczego jak podstawiłem \(\displaystyle{ \sqrt{27}}\) to nie zgadza się z odpowiedziami, a jak wy sobie obliczyliście dla innych niewymiernych liczb to się zgadza. O co tu chodzi? Podzielcie się tajemną wiedzą.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Althorion »

W zadaniu pytali Cię o to, czy dana liczba nie może być w ogóle wymierną (użyto sformułowania „niewymierna jest też na pewno”). Ty pokazałeś, że czasami bywa, a to w ogóle bez znaczenia. Ja pokazałem, że w c) i d) są takie liczby, dla których nie jest (czyli już nie jest zawsze niewymierna), norwimaj podpowiedział Ci, w jaki sposób wykazać, że b) działa w każdej sytuacji.
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Dovv90 »

Okej, ale uprośćmy to bo do wigilii tego nie zrozumiem.
Po prostu- jaka jest metoda na to żeby sprawdzić w tym wypadku czy dana liczba jest niewymierna? Ja nie rozumiem na czym polega wasza metoda, mi cały czas wychodzi, że trzy z nich są niewymierne (jak podstawiam pod x np. \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) albo \(\displaystyle{ \sqrt{27}}\))
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Althorion »

Nie, Tobie wychodzi, że czasem (dla niektórych liczb) są niewymierne. To jest prawdą, ale też nie o to pytają. W zadaniu nie chodzi o czasem, chodzi o zawsze, nie wystarczy więc sprawdzić niektórych liczb, trzeba sprawdzić wszystkie lub odgadnąć występującą zależność.
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: Dovv90 »

Dzięki Althorion.
Rozumiem różnicę między tym kiedy czasem są wymierne a kiedy zawsze. Zgodnie z tym muszę odgadnąć występującą zależność lub sprawdzić wszystkie. I to własnie jest moim pytaniem- jak odgadnąć te występującą zależność (bo zeby podstawic wszystkie to troche zajmie ).
Jaki zastosować tu tok rozumowania, tak najprościej mówiąc, jeśli bym spotkał się z takim zadaniem?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wiadomo, że liczba x jest niewymierna.

Post autor: norwimaj »

d) Możesz wylosować sobie jakąś liczbę wymierną \(\displaystyle{ q}\) i rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}=q}\). Na przykład dla \(\displaystyle{ q=1}\) mamy \(\displaystyle{ x+\sqrt2=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=1-\sqrt2}\). I akurat się udało, bo \(\displaystyle{ 1-\sqrt2}\) jest liczbą niewymierną, zatem mamy kontrprzykład.

b) Rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 2x=q}\) jest \(\displaystyle{ x=\frac q2}\). Tutaj nawet jeśli będziesz próbował wstawiać różne liczby wymierne, to szybko zauważysz, że znalezienie kontrprzykładu jest niemożliwe.
ODPOWIEDZ