Udowodnij wymierność :
\(\displaystyle{ \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} + \sqrt{13-4 \sqrt{3} }}\)
udowodnij wymierność
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
udowodnij wymierność
Jak nie umiemy zgadywać, to układamy równanie:
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a^2 + 3b^2 + 2ab \sqrt{3} = 37 - 20 \sqrt{3}}\)
Czyli fajnie by było, gdyby:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2 = 37 \\ ab=-10 \end{cases}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ b=-\frac{10}{a}}\) do pierwszego równania dostajemy:
\(\displaystyle{ a^2 + \frac{300}{a^2} = 37}\)
\(\displaystyle{ a^4 - 37a^2 + 300 = 0}\)
To jest równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ a^2}\) i dostajemy \(\displaystyle{ a= \pm 5}\) lub \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{3}}\)
Weźmy ładniejsze rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ a=5}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=-2}\), czyli nasze zawinięcie to \(\displaystyle{ (5-2 \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\).
Spróbuj drugi składnik tak samo.
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a^2 + 3b^2 + 2ab \sqrt{3} = 37 - 20 \sqrt{3}}\)
Czyli fajnie by było, gdyby:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2 = 37 \\ ab=-10 \end{cases}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ b=-\frac{10}{a}}\) do pierwszego równania dostajemy:
\(\displaystyle{ a^2 + \frac{300}{a^2} = 37}\)
\(\displaystyle{ a^4 - 37a^2 + 300 = 0}\)
To jest równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ a^2}\) i dostajemy \(\displaystyle{ a= \pm 5}\) lub \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{3}}\)
Weźmy ładniejsze rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ a=5}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=-2}\), czyli nasze zawinięcie to \(\displaystyle{ (5-2 \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\).
Spróbuj drugi składnik tak samo.