udowodnij wymierność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
koktajlik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 8 wrz 2011, o 17:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Świebodzice
Podziękował: 13 razy

udowodnij wymierność

Post autor: koktajlik »

Udowodnij wymierność :
\(\displaystyle{ \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} + \sqrt{13-4 \sqrt{3} }}\)
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

udowodnij wymierność

Post autor: Marcinek665 »

Szukamy wzorów skróconego mnożenia.
koktajlik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 8 wrz 2011, o 17:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Świebodzice
Podziękował: 13 razy

udowodnij wymierność

Post autor: koktajlik »

kiedy właśnie nie mogę znaleść....
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

udowodnij wymierność

Post autor: Marcinek665 »

Jak nie umiemy zgadywać, to układamy równanie:

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ a^2 + 3b^2 + 2ab \sqrt{3} = 37 - 20 \sqrt{3}}\)

Czyli fajnie by było, gdyby:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2 = 37 \\ ab=-10 \end{cases}}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ b=-\frac{10}{a}}\) do pierwszego równania dostajemy:

\(\displaystyle{ a^2 + \frac{300}{a^2} = 37}\)

\(\displaystyle{ a^4 - 37a^2 + 300 = 0}\)

To jest równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ a^2}\) i dostajemy \(\displaystyle{ a= \pm 5}\) lub \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{3}}\)

Weźmy ładniejsze rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ a=5}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=-2}\), czyli nasze zawinięcie to \(\displaystyle{ (5-2 \sqrt{3})^2 = 37 - 20 \sqrt{3}}\).

Spróbuj drugi składnik tak samo.
ODPOWIEDZ