Układy kongruencji

[blackbird936]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 4 \pmod{5} \\
x\equiv 1 \pmod{12}\\
x\equiv 7 \pmod{14} \end{cases}}\)

Wiem jak to się robi, ale mam pytanie odnośnie tego, czy jak przy mod nie ma liczby pierwszej to rozwiązuje się tak samo jak z liczbami pierwszymi ?

[Ponewor]

Nie. Liczby przy \(\displaystyle{ \mod}\) muszą być parami względnie pierwsze. Ten układ warunków musisz zamienić na równoważny.

[blackbird936]

A możesz mi napisać jak to się robi? Proszę

[myszka9]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4(\mod 5) \\ x=1( \mod 2) \\ x=1( \mod 3) \\ x=0( \mod 7) \end{cases}}\)

Rozwiązanie : \(\displaystyle{ 210c + 49}\)

Jak to możliwe, skoro nie jest to rozwiązaniem tego wyjściowego układu?
Wyjściowy układ ma rozwiązanie : \(\displaystyle{ 420c + 49}\)

I rozwiązanie tego równoważnego, nie pasuje do wyjściowego (tylko w pierwszy przypadku, którego nie rozbijaliśmy).

[m-2]

Bo to nie jest układ równoważny.
\(\displaystyle{ x\equiv 1 \pmod{12} \Leftrightarrow x\equiv 1 \pmod{4} \wedge x\equiv 1 \pmod{3}}\)

[myszka9]

O dziękuję.
A co do pytania , jak się to robi :

mając : \(\displaystyle{ x=1 (\mod 12)}\)
rozbijasz \(\displaystyle{ 12}\) na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3}\)
i podstawiasz te liczby mod modulo.

\(\displaystyle{ x=1 (\mod 4) \\
x=1(\mod 3)}\)

[Ponewor]

\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{c} \wedge d|c \Rightarrow a \equiv b \pmod{d}}\)

[blackbird936]

Dzięki ogromne!

-- 27 sty 2013, o 12:11 --

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4(\mod 5) \\ x=1( \mod 2) \\ x=1( \mod 3) \\ x=0( \mod 7) \end{cases}}\)

Rozwiązanie : \(\displaystyle{ 210c + 49}\)

Jak to możliwe, skoro nie jest to rozwiązaniem tego wyjściowego układu?
Wyjściowy układ ma rozwiązanie : \(\displaystyle{ 420c + 49}\)

I rozwiązanie tego równoważnego, nie pasuje do wyjściowego (tylko w pierwszy przypadku, którego nie rozbijaliśmy).

Hej
Też mi wyszło \(\displaystyle{ 420c + 49}\)

Ale mam pytanie, bo korzystając z tego wzoru:

\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{c} \wedge d|c \Rightarrow a \equiv b \pmod{d}}\)

To:

\(\displaystyle{ x\equiv7\pmod{14}}\)

Powinno wyglądać tak? :

\(\displaystyle{ x\equiv0\pmod{7} \\
x\equiv1\pmod{2}}\)
??

I w sumie całe :
\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv4\pmod{5} \\ x\equiv1\pmod{4} \\ x\equiv1\pmod{3} \\ x\equiv0\pmod{7} \\ x\equiv1\pmod{2} \end{cases}}\)

wtedy byłby inny wynik

-- 27 sty 2013, o 12:17 --

A coś takiego? :

\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv1\pmod{25} \\ x\equiv2\pmod{4} \\ x\equiv3\pmod{7} \\ x\equiv4\pmod{9} \end{cases}}\)

Powinno wyglądać tak: ?

\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv1\pmod{5} \\ x\equiv1\pmod{2} \\ x\equiv3\pmod{7} \\ x\equiv2\pmod{3} \end{cases}}\)-- 27 sty 2013, o 12:22 --tutaj byłby wynik: \(\displaystyle{ X= 210d +101}\)

[Ponewor]

I w sumie całe :
\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv4\pmod{5} \\ x\equiv1\pmod{4} \\ x\equiv1\pmod{3} \\ x\equiv0\pmod{7} \\ x\equiv1\pmod{2} \end{cases}}\)

wtedy byłby inny wynik

Nie powinien wyjść inny. Pokaż jak rachujesz.

A coś takiego? :

\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv1\pmod{25} \\ x\equiv2\pmod{4} \\ x\equiv3\pmod{7} \\ x\equiv4\pmod{9} \end{cases}}\)

Powinno wyglądać tak: ?

\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv1\pmod{5} \\ x\equiv1\pmod{2} \\ x\equiv3\pmod{7} \\ x\equiv2\pmod{3} \end{cases}}\)

A po co przekształcać jak w wyjściowym układzie masz liczby względnie pierwsze? Zresztą jedno z przekształceń jest nieprawdziwe, no i te układy nie są równoważne.

[blackbird936]

Aha, pomyliłam się, ten sam wynik
Do tego drugiego:
Więc jeśli liczby przy modulo są względnie pierwsze, to zostawiam i nic nie kombinuje z przekształceniami,
A równoważne kiedy jest?

[mattt009]

1. w tym pierwszych przykłądzie wyszło mi \(\displaystyle{ 420w+49}\) i tu kongruencja z \(\displaystyle{ 1 \pmod{2}}\) to znaczy ze nic juz sie z tym nie dzieje?

-- 27 sty 2013, o 18:27 --

2. co do drugiego przykładu blackbird skonczyło się na \(\displaystyle{ 6300w+3626}\) ale obawiam sie ze cos tam jest nie tak :/


3. a w przypadku układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x\equiv 7\pmod{10}\\2x \equiv 5 \pmod{15}\end{cases}}\)
zamieniam na
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x \equiv 7\pmod{5} \\ 3x \equiv 7 \pmod{2}\\2x\equiv 5 \pmod{3}\\2x \equiv 5 \pmod{5}\end{cases}}\) ?

-- 27 sty 2013, o 23:44 --

Dzięki ogromne!

-- 27 sty 2013, o 12:11 --

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4(\mod 5) \\ x=1( \mod 2) \\ x=1( \mod 3) \\ x=0( \mod 7) \end{cases}}\)

Rozwiązanie : \(\displaystyle{ 210c + 49}\)

Jak to możliwe, skoro nie jest to rozwiązaniem tego wyjściowego układu?
Wyjściowy układ ma rozwiązanie : \(\displaystyle{ 420c + 49}\)

I rozwiązanie tego równoważnego, nie pasuje do wyjściowego (tylko w pierwszy przypadku, którego nie rozbijaliśmy).

Hej
Też mi wyszło \(\displaystyle{ 420c + 49}\)

Ale mam pytanie, bo korzystając z tego wzoru:

\(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{c} \wedge d|c \Rightarrow a \equiv b \pmod{d}}\)

To:

\(\displaystyle{ x\equiv7\pmod{14}}\)

Powinno wyglądać tak? :

\(\displaystyle{ x\equiv0\pmod{7} \\
x\equiv1\pmod{2}}\)
??

I w sumie całe :
\(\displaystyle{ \begin{cases}x\equiv4\pmod{5} \\ x\equiv1\pmod{4} \\ x\equiv1\pmod{3} \\ x\equiv0\pmod{7} \\ x\equiv1\pmod{2} \end{cases}}\)

parami wzglednie pierwsze...
ale 4 i 2 nie są względnie pierwsze-- 28 sty 2013, o 13:24 --mogę dopytać?
dobrze jest zamieniony ten układ z 3x i 2x?