Reszty z dzielenia liczb

[blackbird936]

Znajdź reszty z dzielenia liczb \(\displaystyle{ 8^{1786}}\) i \(\displaystyle{ 7^{1786}}\) przez \(\displaystyle{ 21}\)

Nie wiem jak się za to zabrać ;(
Proszę o pomoc

[yorgin]

Działania modulo znasz? Z nich wyjdzie bardzo bardzo łatwo i szybko.

[blackbird936]

Znam, ale właśnie nie wiem jak to zrobić

[Ponewor]

Znajdź reszty z dzielenia dla \(\displaystyle{ 8^{2}}\) i \(\displaystyle{ 7^{2}}\).

[mattt009]

Znajdź reszty z dzielenia dla \(\displaystyle{ 8^{2}}\) i \(\displaystyle{ 7^{2}}\).

a potem?
znowu potege tego?

[Ponewor]

A obserwacja mądra jakaś?
Ale w zasadzie to tak, później podnosić to do potęgi.

[mattt009]

bardzo mądra

reszta dla \(\displaystyle{ 8^2}\) to 1
a dla \(\displaystyle{ 7^2}\) to 7


a z tego \(\displaystyle{ 1^{893}}\) to 1
a dla 7 hmmm?
mogę prosić o mądry komentarz?

[yorgin]

Dla siódemki reszty są zawsze takie same

\(\displaystyle{ 7^1\equiv 7 \mod 21\\
7^2=49\equiv 7 \mod 21\\
\vdots}\)

[mattt009]

czyli dla 8 bedzie 1 a dla 7 7?
dzieki wielkie


PS
jeszcze gdzies bylo pytanie o ostatnie dwie cyfry dla tych liczb
jakas wskazówka?

[yorgin]

Dla dwóch ostatnich cyfr liczysz modulo 100.

[mattt009]

no tak .. ale tam miało być w założeniach że te liczby są względnie pierwsze a 8 i 100 nie są...

[yorgin]

Jakich założeniach? Nie mam pojęcia o czym piszesz...

[mattt009]

dla \(\displaystyle{ 7}\) mam \(\displaystyle{ 7^{40}}\) kongruencje \(\displaystyle{ 1 \pmod{100}}\)
ale to nie ta potega...
a dla \(\displaystyle{ 8}\) nie wiem na razie

-- 27 sty 2013, o 23:32 --

a dla \(\displaystyle{ 8}\) np. \(\displaystyle{ 64^{893}}\) też mi nic nie da

[Ponewor]

Ostatnie dwie cyfry potęg ósemki powtarzają się cyklicznie co dwadzieścia.

[mattt009]

czyli zostanie \(\displaystyle{ 8^{6}}\) ?
a jak dla 7?