Układ trzech kongruencji

[wisienka91]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 4 \mod 6 \\ x \equiv 6 \mod 10 \\ x \equiv 5 \mod 7 \end{cases}}\)

Proszę o łopatologiczne wytłumacznie zadania. Wiem, że w tej postaci nie da się tego rozwiązać korzystając z chinskiego tw. o resztach. Nie widzę jak przekształcić to do układu, który z tego twierdzenia rozwiazać się da...

[Qń]

Zauważ, że układ jest równoważny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0 \mod 2 \\ x \equiv 1 \mod 3 \\ x \equiv 1 \mod 5 \\ x \equiv 5 \mod 7 \end{cases}}\)

Q.

[wisienka91]

Właśnie dlatego prosiłem o łopatologiczne wyjaśnienie... Z czego wynika, że mój układ jest równoważny podanemu w odpowiedzi ?

[octahedron]

Można też tak:

\(\displaystyle{ x\equiv 5\pmod{7} \Leftrightarrow x=5+7k\\\\
5+7k\equiv 4\pmod{6}\\\\
k\equiv -1\pmod{6}\\\\
k=6n-1\\\\
x=5+7(6n-1)=42n-2\\\\\
42n-2\equiv 6\pmod{10}\\\\
2n\equiv 8\pmod{10}\\\\
n\equiv 4\pmod{5}\\\\
n=4+5m\\\\
x=42(4+5m)-2=166+210m}\)

[wisienka91]

Ok... ten sposób znałem, niestety mimo wielu prób wynik wyszedł zupełnie inny, za to co do rozwiązania mam następujące pytania:

1. Czy rozwiązując to zadanie tym sposobem, od samego początku mamy pewność, że rozwiązanie układu istnieje ? Jeśli tak, to dlaczego i co zrobić, żeby to wiedzieć zanim zaczniemy liczyć coś, czego może nie trzeba wcale tyle liczyć?

2. Dlaczego różnica w wyniku (przynajmniej u mnie) jest, jeśli zaczniemy podstawiać od pierwszego równania, a nie od ostatniego - tak jak tu i skąd wybór właśnie trzeciego równania na pierwsze do podstawienia ?

3. \(\displaystyle{ k\equiv -1\pmod{6}}\)

Czy to jest to samo, co:

\(\displaystyle{ k\equiv 5\pmod{6}}\) ? Dlaczego ?

[Ponewor]

3. To jest to samo, bo \(\displaystyle{ -1 \equiv 5 \pmod{6} \Leftrightarrow 6|5-\left( -1 \right) \Leftrightarrow 6|6}\)

[wisienka91]

Tak myślałem, tylko podstawiając do równania 5 zamiast -1 nie dostajemy tej samej odpowiedzi. Pytanie 1 i 2 @up

[octahedron]

1. Nie mamy pewności, bo rozwiązywalność nie zależy przecież od metody.
2. Kolejność można sobie wybrać dowolnie. Jaki wynik Ty dostałeś? Bo mamy \(\displaystyle{ x\pmod{210}}\), więc to może być w rzeczywistości to samo.

[wisienka91]

Zauważ, że układ jest równoważny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0 \mod 2 \\ x \equiv 1 \mod 3 \\ x \equiv 1 \mod 5 \\ x \equiv 5 \mod 7 \end{cases}}\)

Mógłby mi jeszcze to ktoś uzasadnić ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ x\equiv 4\pmod{6} \Leftrightarrow x\equiv 1\pmod{3}\,\wedge\,x\equiv 0\pmod{2}\\\\
x\equiv 6\pmod{10} \Leftrightarrow x\equiv 1\pmod{5}\,\wedge\,x\equiv 0\pmod{2}\\\\}\)