sześcian liczby

[theoldwest]

Dane są funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f(x)=x^3+ax+b}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=x^3+cx+d}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to ustalone liczby całkowite

Pokazać, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ x_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x_0)=g(x_0)=0}\), to liczba \(\displaystyle{ a^3d-a^2bc-2a^2cd+2abc^2+ac^2d-bc^3}\) jest sześcianem liczby całkowitej

[Vax]

Niech dla pewnego \(\displaystyle{ x}\) będzie \(\displaystyle{ x^3+ax+b = 0 \wedge x^3+cx+d = 0}\), odejmując stronami dostajemy \(\displaystyle{ x(a-c) = d-b}\), jeżeli \(\displaystyle{ a=c}\) to \(\displaystyle{ b=d}\) i teza zachodzi (dane wyrażenie zeruje się), niech \(\displaystyle{ a \neq c}\), wówczas \(\displaystyle{ x = \frac{d-b}{a-c}}\), czyli wstawiając do 1 równania dostajemy \(\displaystyle{ (\frac{d-b}{a-c})^3 + a\cdot (\frac{d-b}{a-c}) + b = 0}\), wymnażając to dostajemy \(\displaystyle{ a^3d-a^2bc-2a^2cd+2abc^2+ac^2d-bc^3 = (b-d)^3}\) cnd.