Udowodnić, że
\(\displaystyle{ 13 \cdot (-50)^n+17 \cdot 40^n-30\equiv 0\pmod{1989}}\)
0_o
Równanie z modulo
-
freevolity
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 8 paź 2011, o 11:24
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Czestochowa
- Podziękował: 12 razy
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Równanie z modulo
Dla \(\displaystyle{ n=0}\) jest to spełnione w sposób oczywisty. Pokażemy, że jeżeli zdanie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\), to zachodzi także i dla \(\displaystyle{ n+1}\).
\(\displaystyle{ 13 \cdot (-50)^{n+1}+17 \cdot 40^{n+1}\equiv 30\pmod{1989}\\
13 \cdot (-50)^{n}\cdot(-50)+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}}\)
Z założenia kroku indukcyjnego mamy, iż:
\(\displaystyle{ 13 \cdot (-50)^{n}\equiv 30-17 \cdot 40^{n}\pmod{1989}}\)
Wstawiając:
\(\displaystyle{ \left(30-17 \cdot 40^{n}\right)\cdot(-50)+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}\\
-1500+50\cdot17 \cdot 40^{n}+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}\\
90\cdot17 \cdot 40^{n}\equiv 1530\pmod{1989}\\
1530 \cdot 40^n \equiv 1530\pmod{1989}\\
1530 \cdot (39+1)^n \equiv 1530\pmod{1989}}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) to jest tożsamość, bo \(\displaystyle{ 1530\cdot 39\equiv 0}\). Koniec.
\(\displaystyle{ 13 \cdot (-50)^{n+1}+17 \cdot 40^{n+1}\equiv 30\pmod{1989}\\
13 \cdot (-50)^{n}\cdot(-50)+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}}\)
Z założenia kroku indukcyjnego mamy, iż:
\(\displaystyle{ 13 \cdot (-50)^{n}\equiv 30-17 \cdot 40^{n}\pmod{1989}}\)
Wstawiając:
\(\displaystyle{ \left(30-17 \cdot 40^{n}\right)\cdot(-50)+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}\\
-1500+50\cdot17 \cdot 40^{n}+17 \cdot 40^{n}\cdot 40\equiv 30\pmod{1989}\\
90\cdot17 \cdot 40^{n}\equiv 1530\pmod{1989}\\
1530 \cdot 40^n \equiv 1530\pmod{1989}\\
1530 \cdot (39+1)^n \equiv 1530\pmod{1989}}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) to jest tożsamość, bo \(\displaystyle{ 1530\cdot 39\equiv 0}\). Koniec.
