podzielność liczby

[theoldwest]

\(\displaystyle{ n,x,y \in \mathbb{Z},n>1}\)

Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{n \cdot x^{n+1}+y^{n+1}-(n+1) \cdot x^n y}{\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)x^ky^{n-1-k}}}\) albo przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) albo jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) (mianownik różny od zera, oczywiście)

[Vax]

Niech \(\displaystyle{ S(x,y) = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)x^ky^{n-1-k}}\)

Wówczas całkując po \(\displaystyle{ x}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \int S(x,y)dx = \int \left(nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}y+...+2xy^{n-2}+y^{n-1}\right)dx = x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+...+x^2y^{n-2}+xy^{n-1}+C = x(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})+C = x \cdot \frac{x^n-y^n}{x-y}+C = \frac{x^{n+1}-xy^n}{x-y}+C}\)

Różniczkując to teraz otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S(x,y) = \frac{d}{dx}\frac{x^{n+1}-xy^n}{x-y} = \frac{((n+1)x^n-y^n)(x-y)-x^{n+1}+xy^n}{(x-y)^2} = \frac{nx^{n+1}+y^{n+1}-(n+1)x^ny}{(x-y)^2}}\)

Skąd \(\displaystyle{ \frac{nx^{n+1}+y^{n+1}-(n+1)x^ny}{S(x,y)} = (x-y)^2}\)

Teza jest więc równoważna pokazaniu, że kwadrat liczby całkowitej albo jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\), albo daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\), co jest prawdą, gdyż resztami kwadratowymi modulo \(\displaystyle{ 8}\) są \(\displaystyle{ 0,1,4}\)

[theoldwest]

na całkach to ja się nie znam, ale wydaje się, że OK, sprawdzę sobie algebraicznie, dzięki