Ilość cyfr liczby

[NeuroMind]

Ile cyfr ma liczba \(\displaystyle{ 5 ^{100}}\) ?
Obliczenia też, nie sama odpowiedź.

[cosinus90]

Wskazówka :
Ilość cyfr tej liczby w zapisie dziesiętnym jest równa sufitowi logarytmu dziesiętnego z tej liczby.

[NeuroMind]

Zapomniałem napisać że gimnazjum. Jakiś sposób z zakresu gim. ?

[mat_61]

Do cosinus90:
Dla ścisłości tak jest prawie zawsze ( niestety z wyjątkiem kolejnych potęg liczby dziesięć).
Natomiast zawsze jest to powiększona o jeden podłoga logarytmu dziesiętnego z tej liczby.

[Pancernik]

Cyfr w liczbie \(\displaystyle{ 10^n}\) jest \(\displaystyle{ n+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).

\(\displaystyle{ 10^n < 5^{100} < 10^{n+1}\\
\log 10^n < \log 5^{100} < \log 10^{n+1}\\
n\log 10 < 100\log 5 < \left( n+1\right) \log 10\\
n < 100\log 5 < n+1\\
n < 100 \cdot 0,699 < n+1\\
n < 69,9 < n+1\\
n=69}\)

Czyli cyfr w liczbie \(\displaystyle{ 5^{100}}\) jest \(\displaystyle{ 70}\).

[mat_61]

Niestety nie uwzględniłeś uwagi NeuroMind który chciałby coś na poziomie gimnazjum a tam o logarytmach ani widu ani słychu.

[arek1357]

To czego uczą w gimnazjum?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ 5^{100}=\frac{10^{100}}{2^{100}}}\)

Liczba cyfr \(\displaystyle{ 10^{100}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 101}\). Należy odjąć od tego liczbę cyfr \(\displaystyle{ 2^{100}}\). Skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ 2^{10}\approx 10^3}\):

\(\displaystyle{ 2^{100}\approx \left(10^3\right)^{10}=10^{30}}\)

Liczba cyfr na pewno nie jest mniejsza od \(\displaystyle{ 31}\). Teraz wystarczy pokazać, że nie jest większa, wykazując:

\(\displaystyle{ 2^{103}\approx 10^{31}}\)

\(\displaystyle{ 10^{30} < 2^{100} < 2^{103} <10^{31}}\)

co kończy nasze zadanie: \(\displaystyle{ 101-31=70}\).

[Ponewor]

Chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ k}\), że:
\(\displaystyle{ 10^{n} < 5^{100} < 10^{n+1}}\)
Zajmijmy się na razie tylko:
\(\displaystyle{ 5^{100}< 10^{n+1} \\ 5^{100-n-1} < 2^{n+1}}\)
Posłużymy się szacowaniem:
\(\displaystyle{ 5^{3} < 2^{7} \\ 5^{3a} < 2^{7a} \\ \begin{cases} 3a=100-n-1 \\ 7a=n+1 \end{cases} \\ \begin{cases} a=10 \\ n=69 \end{cases}}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ 5^{100} < 10^{70}}\).
Do pokazania zostaje, że:
\(\displaystyle{ 10^{69}<5^{100}}\).

[cosinus90]

mat_61, nie musisz mnie pouczać, bo doskonale zdaję sobie sprawę z tego faktu.

Wskazówka :
Ilość cyfr tej liczby w zapisie dziesiętnym jest równa sufitowi logarytmu dziesiętnego z tej liczby.

Zwracam Ci uwagę na trzecie, pogrubione słowo. Uczymy się ścisłego czytania ze zrozumieniem.

Metody dla gimnazjalistów nie przedstawiam, bo przedmówcy podali aż nadto.

[mat_61]

Zwracam Ci uwagę na trzecie, pogrubione słowo.

Dziękuję, uwagę zwróciłem.

Uczymy się ścisłego czytania ze zrozumieniem.

Nie mam nic przeciwko. Kiedy zaczynamy?