dowód, że liczba kończy sie 6 zerami

[ericcartman]

Liczba \(\displaystyle{ N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 25}\) jest iloczynem liczb naturalnych od 1 do 25. Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ N}\) w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami.

Coś z dwójkami i piątkami w rozkładzie na czynniki pierwsze, nie do końca to rozumiem. Proszę o wytłumaczenie, żebym na przyszłość umiała tego typu zadania, dzięki

[octahedron]

Policz, ile jest tych piątek i dwójek, wystarczy po sześć.

[Ponewor]

EDIT: ups spóźniłem się
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ 10^{6}|25!}\) czyli \(\displaystyle{ 2^{6} \cdot 5^{6} | 25!}\). Zauważ, że z pewnością więcej dwójek dzieli \(\displaystyle{ 25!}\) niż piątek, bo co druga liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), a tylko co piąta przez \(\displaystyle{ 5}\). Wystarczy zatem wykazać, że \(\displaystyle{ 5^{6}|25!}\).

[Jan Kraszewski]

Wystarczy zatem wykazać, że \(\displaystyle{ 5^{6}|25!}\).

Dla pełnej dokładności dobrze byłoby pokazać też, że \(\displaystyle{ 5^7}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 25!}\).

JK

[Ponewor]

Liczba \(\displaystyle{ N}\) w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami.

Czy powyższe zdanie jest fałszywe, jeżeli liczba \(\displaystyle{ N}\) kończy się siedmioma zerami? Przecież jeśli kończy się siedmioma, to tym bardziej sześcioma.

Rozwiązanie ogólniejsze:

Twierdzenie Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) określamy funkcję

\(\displaystyle{ \alpha_p:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\}:\quad \forall\, n\in\mathbb{N}\qquad \alpha_p(n)=k \quad \mathrm{gdy} \quad p^k|n\ \wedge\ p^{k+1}\nmid n.}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ \forall\,n\in\mathbb{N}\ \forall\,p\in\mathbb{P}\qquad \alpha_p(n!)=\sum_{i=1}^\infty \left[\frac{n}{p^i}\right],}\)

gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(\displaystyle{ x}\).

[Zordon]

To jest kwestia dyskusyjna Na pytanie: "iloma zerami kończy się liczba \(\displaystyle{ 100000000}\)" prawdopodobnie odpowiesz \(\displaystyle{ 8}\).

[Jan Kraszewski]

Liczba \(\displaystyle{ N}\) w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami.

Czy powyższe zdanie jest fałszywe, jeżeli liczba \(\displaystyle{ N}\) kończy się siedmioma zerami? Przecież jeśli kończy się siedmioma, to tym bardziej sześcioma.

Oczywiście nie jest fałszywe, tym niemniej nie od rzeczy jest przyjąć, że sformułowanie "kończy się sześcioma zerami" oznacza (w zamyśle zadającego zadanie) "kończy się dokładnie sześcioma zerami". Cóż z tego, że formalnie racja będzie po naszej stronie, czy nie wygodniej jest zrobić zadanie "z zapasem" niż dowodzić potem, że nasze rozwiązanie "podstawowe" jest wystarczające?

JK

[okta90]

@Mały Offtop
@Ponewor
Twoje zacytowane twierdzenie widać jest skopiowane z jakiejś strony. Mógłbyś ją podać ? Ostatnio troche sie zainteresowalem kongruencją, liczbami pierwszymi i chialbym co nieco sie o nich dowiedziec.

@Topic
Dosyć łatwo widac ze ta liczba konczy sie 6 zerami jak sie wypisze te 25 liczb i zna ta wlasnosc z 2 i 5 ale to metoda chałupnicza i przy wiekszej silni czy tez innemu iloczynowi mało wygodna. Mimo wszystko przy 25 tutaj jeszcze się sprawdza.

[Ponewor]

Wygląda na skopiowane? Twierdzisz, że nie umiem tak ładnie redagować?
A poważne to treść skopiowana z naszego forum.

[Vax]

@okta90, ... i_pierwsze

Czemu mało wygodna? Przecież \(\displaystyle{ v_5(25!) = \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{25}{5^i}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{25}{5}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{25}\right\rfloor = 5+1 = 6}\)

Przy większym iloczynie obliczenia są równie proste..