Rozstrzygnij, czy istnieje pięć kolejnych liczb...

[soulforged]

Ponewor powiedział, że 3 zadanie z kwadratu VII da się zrobić inaczej, więc jako, że jestem uczestnikiem II etapu spróbowałem .

Rozstrzygnij, czy istnieje pięć kolejnych liczb całkowitych, których suma kwadratów jest kwadratem liczby
całkowitej.
sumę kwadratów pięciu kolejnych liczb całkowitych można zapisać tak:
\(\displaystyle{ a^{2} + (a+1)^{2} + (a+2)^{2} + (a+3)^{2} + (a+4)^{2}=a^{2} + a^{2} + 2a + 1 + a^{2} + 4a + 4 + a^{2} + 6a + 9 + a^{2} + 8a + 16 = 5a^{2} + 20a + 30 = 5(a^{2} + 4a + 6)}\)
Podzielmy teraz otrzymaną liczbę przez 3:
\(\displaystyle{ 5(a^{2} + 4a + 6) \equiv 2 \pmod 3}\)
Oznaczmy powyższą liczbę jako \(\displaystyle{ k^{2}}\), bo z treści zadania wynika, że ta liczba ma być kwadratem liczby całkowitej. A więc:
\(\displaystyle{ k^{2} = 5(a^{2} + 4a + 6)}\)
Dowolna liczba k może dawać 3 różne reszty z dzielenia przez 3:
\(\displaystyle{ k \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow k^{2} \equiv 0 \pmod 3}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow k^{2} \equiv 1 \pmod 3}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow k^{2} \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3}\)
Mamy więc, że kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) może dawać resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\), a nasza liczba daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wynika z tego, że nie jest ona kwadratem liczby całkowitej.

Dobrze?

[kristoffwp]

A co jeżeli na przykład \(\displaystyle{ a\equiv 0 \pmod 3}\) ? Wtedy \(\displaystyle{ 5(a^{2} + 4a + 6) \equiv 0 \pmod 3}\)

[soulforged]

To jak to zrobić, aby było poprawnie?

[Qń]

Dużo wygodniej oznaczyć te liczby \(\displaystyle{ a-2,a-1,a,a+1,a+2}\), wówczas suma kwadratów to \(\displaystyle{ 5a^2+10=5(a^2+2)}\). Wystarczy teraz pokazać, że \(\displaystyle{ a^2+2}\) nie jest podzielne przez pięć - wówczas nasza liczba będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\), ale nie przez \(\displaystyle{ 5^2}\), więc od razu dostaniemy tezę.

Ale brakujący fakt pokazać łatwo - wystarczy zauważyć, że kwadrat liczby całkowitej może dawać reszty \(\displaystyle{ 0,1,4}\) z dzielenia przez pięć, zatem \(\displaystyle{ a^2+2}\) może dawać reszty \(\displaystyle{ 2,3,1}\) z dzielenia przez pięć, więc nigdy nie jest podzielne przez pięć.

Q.

[soulforged]

już wszystko rozumiem . W każdym zadaniu warto oznaczać kolejne liczby \(\displaystyle{ n}\) jako \(\displaystyle{ n-x ... n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3 ... n+x}\)?

[kristoffwp]

To się generalnie sprawdza, część wyrazów się redukuje zazwyczaj.