Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

Zadanie 4. Wykazać, że łączna liczba ścian, wierzchołków i krawędzi w (a) graniastosłupie, (b) ostrosłupie, nie może być kwadratem liczby całkowitej. (z wykorzystaniem kongruencji i założenia, że jeżeli kwadrat liczby całkowitej jest podzielny przez pewną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), to jest też podzielny przez liczbę \(\displaystyle{ p^{2}}\)).
Próbowałem zrobić to tak:

łączna liczba ścian w graniastosłupie to
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}+2}\)
Jeśli k jest podzielne przez 3, to:
\(\displaystyle{ k\equiv 0 \pmod{3}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \frac{0}{2}+2 = 0 + 2 \equiv 2 \pmod{3}}\)
co oznacza, że ta liczba nie może być kwadratem l. całkowitej (prosiłbym o wytłumaczenie dlaczego, w przykładzie był zapis \(\displaystyle{ 2 \pmod{3}}\) i wyjaśnienie, że nie może być kwadratem liczby całkowitej).
Z kolei jeśli k daje przy dzieleniu przez 3 resztę 2, to:
\(\displaystyle{ k\equiv 2 \pmod{3}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \frac{2}{2}+2 = 1 + 2 = 3 \equiv 0 \pmod{3}}\)
czyli liczba jest podzielna przez 3. Podnieśmy to do kwadratu
\(\displaystyle{ (\frac{2}{2}+2)^{2} = (1 + 2)^{2} = 3^{2}=9 \equiv 0 \pmod{9}}\)
A więc dzieli się przez liczbę pierwszą 3, i przez jej kwadrat, czyli 9, co jest sprzeczne z założeniem zadania. Gdzie popełniłem błąd?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: »

Nie rozumiem zupełnie idei Twojego rozwiązania, ale najprościej jest zauważyć, że graniastosłup z \(\displaystyle{ n}\)-kątem w podstawie ma \(\displaystyle{ 3n}\) krawędzi, \(\displaystyle{ 2n}\) wierzchołków i \(\displaystyle{ n+2}\) ścian, a ostrosłup z \(\displaystyle{ n}\)-kątem w podstawie ma \(\displaystyle{ 2n}\) krawędzi, \(\displaystyle{ n+1}\) wierzchołków i \(\displaystyle{ n+1}\) ścian.

Musisz zatem pokazać, że \(\displaystyle{ 6n+2}\) ani \(\displaystyle{ 4n+2}\) nie mogą być kwadratami liczb całkowitych. W pierwszym wypadku skorzystaj z faktu, że kwadrat liczby całkowitej może dawać tylko reszty \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez trzy, a w drugim skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ 4n+2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), ale nie przez \(\displaystyle{ 2^2}\).

Q.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: Ponewor »

Po drodze dzielisz kongruencje. Tak nie wolno.
Dlaczego \(\displaystyle{ k^{2} \equiv 2 \pmod{3}}\) jest sprzeczne? Kwadraty zawsze dzielą się przez trzy, albo dają resztę jeden co łatwo sprawdzisz na przypadkach podnosząc kongruencje do kwadratu.
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

Powinno być tak?:
\(\displaystyle{ 6n+2}\)
Rozpatrzmy oba przypadki:
\(\displaystyle{ n\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ n\equiv 1 \pmod{3}}\)
Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 0 + 2= 0 + 2\equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot 1 + 2= 8 + 2\equiv 1 \pmod{3}}\) <- to jest ok.
Przy dzieleniu przez 9 liczba \(\displaystyle{ n}\) może więc dawać reszty 1,4,7.
A więc:
\(\displaystyle{ n\equiv 1 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ n\equiv 4 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ n\equiv 7 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot 1 + 2= 6 + 2\equiv 8 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot 4 + 2= 24 + 2\equiv 8 \pmod{9}}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot 7 + 2= 42 + 2\equiv 8 \pmod{9}}\)
A więc ta liczba nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Nie ogarniam ani trochę zadań na podzielność, za dużo własności do nauczenia, jak chociażby z tym kwadratem liczby całkowitej... A OMG się zbliża...
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: Ponewor »

Nie. przy podzielności przez trzy są przecież trzy przypadki. Nie przejmuj się resztą z dzielenia przez trzy jaką daje \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 6 \equiv 0 \pmod{3}}\)
mnożysz stronami razy \(\displaystyle{ n}\), dodajesz stronami \(\displaystyle{ 2}\) i masz:
\(\displaystyle{ 6n+2 \equiv 2 \pmod{3}}\)
a łatwo na kongruencjach pokażesz, że kwadrat daje resztę jeden lub zero w dzieleniu przez trzy. To zresztą zadanie z tegorocznego konkursu kuratoryjnego w mazowieckim:
"Udowodnij, że kwadrat dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\) lub daje resztę jeden w dzieleniu przez 3."
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

Mógłbyś dokończyć rozwiązanie tego przykładu z dalszym wytłumaczeniem? Spróbowałbym wtedy z ostrosłupem.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: Ponewor »

niech \(\displaystyle{ k^{2} = 6n+2 \equiv 2 \pmod{3}}\)
Przypadki:
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow k^{2} \equiv 1 \pmod {3} \\ k \equiv 2 \pmod {3} \Rightarrow k^{2} \equiv 4 \equiv 1 \pmod {3} \\ k \equiv 0 \pmod {3} \Rightarrow k^{2} \equiv 0 \pmod {3}}\) (bo kongruencje można potęgować). Sprzeczność.
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

\(\displaystyle{ 4 \equiv 0 \pmod{2}}\)
mnożę stronami razy \(\displaystyle{ n}\), dodaję stronami \(\displaystyle{ 2}\) i mam:
\(\displaystyle{ 4n+2 \equiv 0 \pmod{2}}\)
niech \(\displaystyle{ k^{2} = 4n+2 \equiv 0 \pmod{2}}\)
Przypadki:
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod {2} \Rightarrow k^{2} \equiv 1 \pmod {2}}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 0 \pmod {2} \Rightarrow k^{2} \equiv 0 \pmod {2}}\)
A dla 4:
\(\displaystyle{ 4 \equiv 0 \pmod{4}}\)
\(\displaystyle{ 4n+2 \equiv 2 \pmod{4}}\)
niech \(\displaystyle{ k^{2} = 4n+2 \equiv 2 \pmod{4}}\)
Przypadki:
\(\displaystyle{ k \equiv 0 \pmod {4} \Rightarrow k^{2} \equiv 0 \pmod {4}}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod {4} \Rightarrow k^{2} \equiv 1 \pmod {4}}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 2 \pmod {4} \Rightarrow k^{2} \equiv 4 \equiv 1 \pmod {4}}\) Sprzeczność.
\(\displaystyle{ k \equiv 3 \pmod {4} \Rightarrow k^{2} \equiv 9 \equiv 1 \pmod {4}}\)

Dobrze jest?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: Ponewor »

Ogólnie rzecz biorąc dobrze. Tylko:
1.
\(\displaystyle{ 4 \equiv 0 \pmod{2}}\)
mnożę stronami razy \(\displaystyle{ n}\), dodaję stronami \(\displaystyle{ 2}\) i mam:
\(\displaystyle{ 4n+2 \equiv 0 \pmod{2}}\)
niech \(\displaystyle{ k^{2} = 4n+2 \equiv 0 \pmod{2}}\)
Przypadki:
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod {2} \Rightarrow k^{2} \equiv 1 \pmod {2}}\)
\(\displaystyle{ k \equiv 0 \pmod {2} \Rightarrow k^{2} \equiv 0 \pmod {2}}\)
ten fragment w zasadzie niepotrzebny
2. drobna pomyłka:
\(\displaystyle{ k \equiv 2 \pmod {4} \Rightarrow k^{2} \equiv 4 \equiv 1 \pmod {4}}\)
3. Nie wykorzystujesz podanej w treści zadania podpowiedzi.
Oto jak powinien przebiegać dowód, z wykorzystaniem podpowiedzi z zadania:
\(\displaystyle{ 4 \equiv 0 \pmod{2}}\)
mnożę stronami razy \(\displaystyle{ n}\), dodaję stronami \(\displaystyle{ 2}\) i mam:
\(\displaystyle{ 4n+2 \equiv 0 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ 4 \equiv 0 \pmod{4}}\)
mnożę stronami razy \(\displaystyle{ n}\), dodaję stronami \(\displaystyle{ 2}\) i mam:
\(\displaystyle{ 4n+2 \equiv 2 \pmod{4}}\)
Niech \(\displaystyle{ k^{2}=4n+2}\).
\(\displaystyle{ k^{2}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), a nie dzieli przez \(\displaystyle{ 4}\). Sprzeczność.
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

Nie rozumiem Twojego rozwiązania, chodzi o ostatnią linijkę... A to co w nawiasie to nie było w treści zadania, tylko tego dotyczył artykuł ;P i chciałem zrobić analogicznym sposobem.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: Ponewor »

Poprawiłem zapis, czy teraz rozumiesz?
soulforged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Liczba ścian kwadratem l. całkowitej?

Post autor: soulforged »

Ah, już rozumiem.
ODPOWIEDZ