Podzielność przez 12
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
Udowodnij, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ 1+3^{n}+5^{n}}\) jest pierwsza, to liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 12}\).
Pora na to, prosiłbym o jakąś wskazówkę, bo nawet nie wiem jak zacząć. ;D
Pora na to, prosiłbym o jakąś wskazówkę, bo nawet nie wiem jak zacząć. ;D
Ostatnio zmieniony 23 gru 2012, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nowe pytanie - nowy temat. Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nowe pytanie - nowy temat. Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
No, reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 0,1,2}\).
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Podzielność przez 12
nie. Źle mnie zrozumiałeś.
\(\displaystyle{ 3^{n} \equiv 0 \pmod{3}}\) niezależnie od \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv ? \pmod{3}}\) ? będą różne wyniki w zależności od \(\displaystyle{ n}\) i będziesz musiał odrzucić takie \(\displaystyle{ n}\) dla których cała suma będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (z wyłączeniem \(\displaystyle{ n=0}\)).
\(\displaystyle{ 3^{n} \equiv 0 \pmod{3}}\) niezależnie od \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv ? \pmod{3}}\) ? będą różne wyniki w zależności od \(\displaystyle{ n}\) i będziesz musiał odrzucić takie \(\displaystyle{ n}\) dla których cała suma będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (z wyłączeniem \(\displaystyle{ n=0}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
\(\displaystyle{ 5^{1} \equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{2} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{3} \equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{4} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{5} \equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ 5^{2k} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{2k \pm 1} \equiv 2 \pmod{3}}\)
A więc dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego, reszta wynosi 1, a dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego reszta wynosi 2. O to chodziło?
\(\displaystyle{ 5^{2} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{3} \equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{4} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{5} \equiv 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ 5^{2k} \equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ 5^{2k \pm 1} \equiv 2 \pmod{3}}\)
A więc dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego, reszta wynosi 1, a dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego reszta wynosi 2. O to chodziło?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Podzielność przez 12
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ 1+3^{n}+5^{n} \equiv 1 + 0 + 2 \equiv 0 \pmod{3}}\)
co nie może być liczbą pierwszą. Stąd masz, że \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste. Analogicznie rozważ podzielność tego wyrażenia przez \(\displaystyle{ 5}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
Właśnie to przed twoim postem zauważyłem. Za 10-15 minut spróbuję spróbuję rozważyć przez 5.
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv 0 \pmod{5}}\) niezależnie od \(\displaystyle{ n}\).
Natomiast dla 3:
\(\displaystyle{ 3^{1} \equiv -2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} \equiv 4 \equiv -1\pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{3} \equiv 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{4} \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{5} \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{6} \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{7} \equiv 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{8} \equiv 1 \pmod{5}}\)
Czyli mogą być 4 różne reszty:
\(\displaystyle{ -2 \Rightarrow}\) od razu odpada, bo tworzy ją potęga nieparzysta
\(\displaystyle{ 2 \Rightarrow}\) jak wyżej
\(\displaystyle{ -1 \Rightarrow}\) Odpada, bo gdy ją podstawimy do kongruencji, otrzymamy:
\(\displaystyle{ 1+3^{n}+5^{n} \equiv 1 + (-1) + 0 \equiv 0 \pmod{5}}\)
co nie jest liczbą pierwszą
Zostaje więc 1. Analizując powyższe podzielności reszta 1 jest w wykładnikach parzystych podzielnych przez 4 (np. 4,8,12,16...)
a więc dowiedliśmy, że liczba \(\displaystyle{ n}\) musi być parzysta i podzielna przez 4, dobrze mówię? Jeśli tak, to co dalej?
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv 0 \pmod{5}}\) niezależnie od \(\displaystyle{ n}\).
Natomiast dla 3:
\(\displaystyle{ 3^{1} \equiv -2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} \equiv 4 \equiv -1\pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{3} \equiv 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{4} \equiv 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{5} \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{6} \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{7} \equiv 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 3^{8} \equiv 1 \pmod{5}}\)
Czyli mogą być 4 różne reszty:
\(\displaystyle{ -2 \Rightarrow}\) od razu odpada, bo tworzy ją potęga nieparzysta
\(\displaystyle{ 2 \Rightarrow}\) jak wyżej
\(\displaystyle{ -1 \Rightarrow}\) Odpada, bo gdy ją podstawimy do kongruencji, otrzymamy:
\(\displaystyle{ 1+3^{n}+5^{n} \equiv 1 + (-1) + 0 \equiv 0 \pmod{5}}\)
co nie jest liczbą pierwszą
Zostaje więc 1. Analizując powyższe podzielności reszta 1 jest w wykładnikach parzystych podzielnych przez 4 (np. 4,8,12,16...)
a więc dowiedliśmy, że liczba \(\displaystyle{ n}\) musi być parzysta i podzielna przez 4, dobrze mówię? Jeśli tak, to co dalej?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Podzielność przez 12
a wystarczyło napisać, że podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Pamiętając o tym, że jest parzysta mogłeś szybciej sprawdzić te podzielności, bo nie musiałbyś sprawdzać nie parzystych wykładników. No dobrze Mamy już wykazaną podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\), to wypadałoby zająć się podzielnością przez \(\displaystyle{ 3}\). W tym celu sprawdź reszty z dzielenia przez kolejną liczbę pierwszą, czyli \(\displaystyle{ 7}\)liczba musi być parzysta i podzielna przez 4...
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
Jezu najukochańszy, jeśli takie zadanie trafi się na OMG, to zajmie mi zbyt dużo czasu... A wtedy klapa!
Dla piątki:
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv 0 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{4} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{8} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{12} \equiv 1 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{16} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{20} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{24} \equiv 1 \pmod{7}}\)
A więc idzie 2,4,1,2,4,1...
Dla trójki:
\(\displaystyle{ 3^{n} \equiv 0 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{4} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{8} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{12} \equiv 1 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{16} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{20} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{24} \equiv 1 \pmod{7}}\)
A więc idzie 4,2,1,4,2,1...
Niestety muszę spadać, więc dokończę później .
Dla piątki:
\(\displaystyle{ 5^{n} \equiv 0 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{4} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{8} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{12} \equiv 1 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{16} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{20} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 5^{24} \equiv 1 \pmod{7}}\)
A więc idzie 2,4,1,2,4,1...
Dla trójki:
\(\displaystyle{ 3^{n} \equiv 0 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{4} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{8} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{12} \equiv 1 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{16} \equiv 4 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{20} \equiv 2 \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 3^{24} \equiv 1 \pmod{7}}\)
A więc idzie 4,2,1,4,2,1...
Niestety muszę spadać, więc dokończę później .
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Podzielność przez 12
Jakie sumy?
-- 23 gru 2012, o 19:14 --
W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ 2+4=6, 6+1=7}\) co nie daje liczby pierwszej bo jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\). W drugim przypadku analogicznie, dopiero dla \(\displaystyle{ n=12,24...}\) reszta z dzielenia to \(\displaystyle{ 3}\). Niestety nie mogę tego zapisać latexem bo piszę z telefonu, ale mam nadzieję, że rozumiesz mój tok myślenia... Nie dało się tego zadania zrobić prościej?
-- 23 gru 2012, o 19:14 --
W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ 2+4=6, 6+1=7}\) co nie daje liczby pierwszej bo jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\). W drugim przypadku analogicznie, dopiero dla \(\displaystyle{ n=12,24...}\) reszta z dzielenia to \(\displaystyle{ 3}\). Niestety nie mogę tego zapisać latexem bo piszę z telefonu, ale mam nadzieję, że rozumiesz mój tok myślenia... Nie dało się tego zadania zrobić prościej?
Ostatnio zmieniony 23 gru 2012, o 23:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Podzielność przez 12
To jest w gruncie rzeczy naprawdę proste rozwiązanie, jakby to ładnie i elegancko zapisać. Czy da się inaczej? Ja w danej chwili nie potrafię.
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 07:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy