Witam!
Proszę o pomoc w pewnym zadaniu:
Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna:
a) wiedząc, że \(\displaystyle{ k \in C \setminus \left\{ 0\right\}}\), pokaż, że \(\displaystyle{ kx}\) jest liczbą niewymierną,
b) \(\displaystyle{ x+w}\) jest niewymierne, gdzie \(\displaystyle{ w \in W}\)
Mógłby ktoś mi wyjaśnić jak wykazywać tego typu zadania? Bo jak dla mnie fakt niewymierności tych liczb jest wiadomy, można rzec, że oczywisty, ale taki komentarz nie załatwia sprawy, bardzo proszę..
Pokaż niewymierność liczby
-
pawellogrd
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Pokaż niewymierność liczby
a) Rozumiem, że \(\displaystyle{ C}\) u Ciebie oznacza liczby całkowite, a nie zespolone (w tym drugim przypadku nie byłoby to prawdą). Jeżeli tak to:
Załóżmy niewprost, że iloczyn \(\displaystyle{ kx}\) jest liczbą wymierną.
Wtedy: \(\displaystyle{ kx=\frac{c}{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ c,d}\) - liczby całkowite.
Wiedząc, że \(\displaystyle{ k \neq 0}\) możemy podzielić powyższą równość przez \(\displaystyle{ k}\) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ x=\frac{c}{dk}}\)
Liczba \(\displaystyle{ dk}\) jest oczywiście liczbą całkowitą (iloczyn liczb całkowitych daje rzecz jasna liczbę całkowitą).
A zatem liczbę \(\displaystyle{ x}\) udało się przedstawić jako ułamek o wyrazach całkowitych czyli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną. Oczywiście otrzymaliśmy sprzeczność, więcc ałożenie było nieprawdziwe, a stąd wniosek, że iloczyn \(\displaystyle{ kx}\) jest liczbą niewymierną.
b) Tutaj rozumiem, że \(\displaystyle{ W}\) to zbiór liczb wymiernych.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ w=\frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) - liczby całkowite.
Załóżmy niewprost, że suma \(\displaystyle{ x+w}\) jest liczbą wymierną czyli \(\displaystyle{ x+w=\frac{c}{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ c,d}\) - liczby całkowite.
Z powyższej równości mamy: \(\displaystyle{ x=\frac{c}{d}-w=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}}\),
Liczby: \(\displaystyle{ bc-ad}\) i \(\displaystyle{ bd}\) są oczywiście liczbami całkowitymi czyli liczbę \(\displaystyle{ x}\) udało się przedstawić jako ułamek o wyrazach całkowitych, stąd liczba ta jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność. Czyli założenie było nieprawdziwe i suma \(\displaystyle{ x+w}\) jest liczbą niewymierną.
Załóżmy niewprost, że iloczyn \(\displaystyle{ kx}\) jest liczbą wymierną.
Wtedy: \(\displaystyle{ kx=\frac{c}{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ c,d}\) - liczby całkowite.
Wiedząc, że \(\displaystyle{ k \neq 0}\) możemy podzielić powyższą równość przez \(\displaystyle{ k}\) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ x=\frac{c}{dk}}\)
Liczba \(\displaystyle{ dk}\) jest oczywiście liczbą całkowitą (iloczyn liczb całkowitych daje rzecz jasna liczbę całkowitą).
A zatem liczbę \(\displaystyle{ x}\) udało się przedstawić jako ułamek o wyrazach całkowitych czyli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną. Oczywiście otrzymaliśmy sprzeczność, więcc ałożenie było nieprawdziwe, a stąd wniosek, że iloczyn \(\displaystyle{ kx}\) jest liczbą niewymierną.
b) Tutaj rozumiem, że \(\displaystyle{ W}\) to zbiór liczb wymiernych.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ w=\frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) - liczby całkowite.
Załóżmy niewprost, że suma \(\displaystyle{ x+w}\) jest liczbą wymierną czyli \(\displaystyle{ x+w=\frac{c}{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ c,d}\) - liczby całkowite.
Z powyższej równości mamy: \(\displaystyle{ x=\frac{c}{d}-w=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}}\),
Liczby: \(\displaystyle{ bc-ad}\) i \(\displaystyle{ bd}\) są oczywiście liczbami całkowitymi czyli liczbę \(\displaystyle{ x}\) udało się przedstawić jako ułamek o wyrazach całkowitych, stąd liczba ta jest liczbą wymierną. Otrzymaliśmy sprzeczność. Czyli założenie było nieprawdziwe i suma \(\displaystyle{ x+w}\) jest liczbą niewymierną.