liczby niewymierne (liceum)

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 16 gru 2012, o 01:14

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami niewymiernymi takimi, że \(\displaystyle{ a<b}\), to istnieje liczba wymierna \(\displaystyle{ c}\) taka, że \(\displaystyle{ a<c<b}\) (zakres liceum).

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 16 gru 2012, o 01:50

Były granice? Jeżeli tak, to pójdzie łatwo.

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 16 gru 2012, o 01:52

Tylko te podstawowe miałem.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 16 gru 2012, o 01:55

Sposób bez granic:

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \lfloor x\rfloor}\) największą liczbę całkowitą mniejszą bądź równą \(\displaystyle{ x}\) oraz przez \(\displaystyle{ \lceil x\rceil}\) najmniejszą liczbę całkowitą większą bądź równą \(\displaystyle{ x.}\)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ n=\lceil\frac{1}{b-a}\rceil.}\) Zachodzi wtedy

\(\displaystyle{ a \le b-\frac{1}{n}=\frac{nb-1}{n} \le \frac{\lfloor nb\rfloor}{n} \le \frac{nb}{n}=b.}\)

Liczba \(\displaystyle{ c=\frac{\lfloor nb\rfloor}{n}}\) jest naszą szukaną liczbą.

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 16 gru 2012, o 02:43

Dzięki!