Wykaż, że liczba jest liczbą pierwszą...

[Cudi29]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ r}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ p}\) przez \(\displaystyle{ 30}\), to \(\displaystyle{ r=1}\) lub \(\displaystyle{ r}\) jest liczbą pierwszą.
Rozwiązanie:
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ r \neq 1}\) i \(\displaystyle{ r \not\in \mathbb{P}}\). Weźmy \(\displaystyle{ p=30q+r}\) dla pewnych \(\displaystyle{ q,r \in \mathbb{Z}}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le r<30}\).
\(\displaystyle{ {\red {\rm Ponieważ} \ r<30, {\rm więc}\ {\rm posiada}\ {\rm dzielnik}\ {\rm pierwszy}\ s \le 30}}\), czyli \(\displaystyle{ s \in \left\{ 2,3,5\right\}}\).
1. \(\displaystyle{ r=2k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \ge 1 \Rightarrow p=2{\red (15q+k), 15q+k \in \mathbb{Z}} \Rightarrow 2 \mid p \Rightarrow p=2 \Rightarrow r \not\in \mathbb{P}}\), sprzeczność.
2. \(\displaystyle{ r=3k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \ge 1 \Rightarrow p=3{\red (10q+k), 10q+k \in \mathbb{Z} }\Rightarrow 3 \mid p \Rightarrow p=3 \Rightarrow r \not\in \mathbb{P}}\), sprzeczność.
3. \(\displaystyle{ r=5k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \ge 1 \Rightarrow p=5{\red (6q+k), 6q+k \in \mathbb{Z} }\Rightarrow 5 \mid p \Rightarrow p=5 \Rightarrow r \not\in \mathbb{P}}\), sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ r=1}\) lub \(\displaystyle{ r \in \mathbb{P}}\).

Czerwonym kolorem zaznaczyłam fragmenty, których nie rozumiem. To, że posiada dzielnik pierwszy w zależności od \(\displaystyle{ r}\) to jakaś własność? I skąd się wzięły te wartości \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ k}\) w dalszej części? Można je tak sobie wymyślić żeby całość pasowała do początkowego równania? Nie ma jakichś ograniczeń i zasad co do tego?

[Ponewor]

Ponieważ \(\displaystyle{ r}\) to reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30}\) to musi być mniejsze od \(\displaystyle{ 30}\). Założyliśmy, że nie jest liczbą pierwszą, ani równe \(\displaystyle{ 1}\). Każda liczba naturalna różna od \(\displaystyle{ 1}\) ma rozkład na czynniki pierwsze. \(\displaystyle{ r}\) ma jakieś dzielniki pierwsze oczywiście jak to zwykle dzielnikami bywa mniejsze równe \(\displaystyle{ r}\), a tak naprawdę mniejsze, bo gdyby zachodziła równość to \(\displaystyle{ r}\) wbrew założeniom byłoby liczbą pierwszą. Dalej jednak dziwi mnie to szacowanie, bo skoro już szacować to skoro \(\displaystyle{ r<30}\) i \(\displaystyle{ s \le r}\) to \(\displaystyle{ s <30}\). A normalne szacowanie to \(\displaystyle{ s \le \sqrt{30}}\). Bo zauważ, że gdybyśmy mieli dzielnik \(\displaystyle{ d}\) trzydziestu większy od pierwiastka z trzydziestu, to \(\displaystyle{ \frac{30}{d}}\) też byłoby dzielnikiem trzydziestki. I to właśnie z tego szacowania: \(\displaystyle{ s \le \sqrt{30}}\) dostaniemy \(\displaystyle{ s \in \left\{ 2,3,5\right\}}\). Później masz przypadki, co gdy \(\displaystyle{ s}\) jest równe \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 5}\). Skoro \(\displaystyle{ s}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ r}\) to znaczy, że \(\displaystyle{ r}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ r=sk}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) i powinno tam być \(\displaystyle{ k>1}\), a nie \(\displaystyle{ k \ge 1}\), bo gdyby zachodziła równość to \(\displaystyle{ r}\) wbrew założeniom byłoby liczbą pierwszą. Dalej wstawiasz tak wyliczone \(\displaystyle{ r}\) do wzoru \(\displaystyle{ p=30q+r}\) i wyłączasz co się da przed nawias i wyznaczasz dzielniki \(\displaystyle{ p}\).

[okta90]

Wszystko po kolei.
Jeśli \(\displaystyle{ p}\) dzielimy przez 30 to można \(\displaystyle{ p}\) zapisać w postaci: \(\displaystyle{ p=30q+r}\), gdzie \(\displaystyle{ q,r>0}\). Reszta oczywiscie nie moze byc wieksza od 30, \(\displaystyle{ r<30}\). Poniewaz z założenia dowodu \(\displaystyle{ r}\) nalezy do liczb zlozonych (i naturalnych) wiec istnieja przynajmniej 2 liczby naturalne, pierwsze, wieksze lub rowne od 2 przez ktore mozna podzielic \(\displaystyle{ r}\). Teraz trzeba zauwazyc (pewnie nawet jest jakas wlasnosc opisujaca to) ze wszystkie liczby naturalne z przedzialu \(\displaystyle{ [1;30]}\) musza miec dzielniki pierwsze rowne te wspomniane 2,3,5 (liczb tych mozna wedlug moich rozmyslan szukac tak: jesli \(\displaystyle{ r<=29}\) to bierzemy pierwiastek z tej liczby (u nas 29) i szukamy wszystkich liczb pierwszych od 2 do tego piwerwiastka ktory wyszedl, wlacznie z nim jesli jest naturalny i pierwszy). Dalej sa te 3 podpunkty.
Oczywiste jest ze jesli reszta \(\displaystyle{ r}\)dzieli sie przez 2 lub 3 lub 5 to \(\displaystyle{ r=sk}\), \(\displaystyle{ s}\) nalezy do naturalnych, \(\displaystyle{ k=2 lub 3 lub 5}\).
Potem mozna zapisac \(\displaystyle{ p}\) w postaciach tych z podpunktow 1,2,3 (bo przeciez \(\displaystyle{ r=sk}\)), z tym zastrzeniem ze \(\displaystyle{ k>1}\) a nie tak jak masz u siebie w rozwiazaniu, bo wtedy jak napisal kolega wyzej gdyby k=1 to niebylyby spelnione zalozenia. Dalej idzie wszystko normalnie az do momentu gdzie jest ze r nie nalezy do P, ale r nalezy do P bo 2,3,5 sa liczbami pierwszymi wiec u ciebie w dowodzie powinno byc ze r nalezy do P (3 razy tak) i dopiero wtedy jest sprzecznosc z zalozeniemi dowodu niewprost. Zatem jesli wszystkie liczby naturalne z przedzialu [1;30] (0 to taki przypadek szczegolny ktory rozkminiamy oddzielnie) nie dziela sie przez ani 2 ani 3 ani 5 to a wszystkie liczby zlozone z tego przedzialu dziela sie przez 2 lub 3 lub 5 to pozostaja nam liczby pierwsze oraz oczywiscie 1. Udowodnione, wyjasnione.
A propo tego ze r=sk. Wiadomo ze r jest liczba zlozona czyli taka ktora dzieli sie przez pewne liczby naturalne (np.; 6=2*3). To my zapisujemy ta przytoczona 6 w postaci rownowaznej 2*3.
(nie pisalem czasem w "\(\displaystyle{ " i ogolnie tak jak trzeba bo mialem troche czas ograniczony).}\)