równanie w liczbach całkowitych

[theoldwest]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ b^2-4ac=d^2}\) w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)

[Zordon]

Wzory Viete'a pomogą.

[theoldwest]

Nie rozumiem o co Ci chodzi. Możesz jaśniej co mam zrobić?

[Zordon]

Dałem wskazówkę, a nie rozwiązanie. Kolejna jest taka, że równanie przypomina wzór na deltę.

[theoldwest]

Zauważyłem, ale nadal nie wiem co zrobić z tymi wzorami Viete'a? Poza tym nie musi dać się zapisać wzorów Viete'a dla naszych \(\displaystyle{ a,b,c}\)

-- 9 gru 2012, o 15:51 --

dla \(\displaystyle{ a \neq 0,b \ge 4ac}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b}{a}}\)

\(\displaystyle{ b^2-4ac=d^2 \\ \left(\frac{b}{a}\right)^2-4 \cdot \frac{c}{a}=\left(\frac{d}{a}\right)^2}\)

Mam wstawić te powyższe wzory za \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\) i \(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\)?

\(\displaystyle{ b^2-4ac=d^2 \\ \sqrt{b^2-4ac}=|d| \\ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{|d|-b}{2a} \\ \frac{-b}{a}=\frac{|d|-b}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)

Napisałem kilka rzeczy, ale nie wiem co z tym zrobić.

[Koryfeusz]

Mamy dużo niewiadomych i wygląda na to, że trzeba tu rozważyć kilka przypadków szczególnych, na przykład takie:

\(\displaystyle{ 1) \ a=0 \vee c=0 \Rightarrow d= \pm |b|}\)

\(\displaystyle{ 2) \ b^2-4ac \ge 0 \Rightarrow c \ge \frac{b^2}{4a} \Leftrightarrow a \in \{-1,-2,...\}, d=...}\)

...

[theoldwest]

Ponadto równanie to nie ma rozwiązań w liczbach nieparzystych, w liczbach pierwszych jedynym rozwiązaniem \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) jest \(\displaystyle{ (5,2,2,3)}\), to nadal niewiele przybliża do rozwiązania.