równanie w całkowitych

[theoldwest]

Rozwiązać \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = 1}\) w całkowitych różnych od zera.

[ares41]

Z nierówności między średnimi :
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}=3}\)
widzimy, że równanie nie ma rozwiązań takich, że wszystkie liczby są dodatnie.

Czyli co najmniej jedna jest ujemna. I patrzymy co się wtedy dzieje.

[theoldwest]

No właśnie nie wiem co się wtedy dzieje.

[czekoladowy]

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami względnie pierwsze (wszelkie możliwe wspólne dzielniki skracają nam się), równanie jest równoważne \(\displaystyle{ a^2c+b^2a+c^2b = abc}\), prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ a}\), więc lewa również, czyli \(\displaystyle{ a \mid bc^2}\), ale \(\displaystyle{ (a,b) = (a,c) = 1}\) skąd \(\displaystyle{ |a| = 1}\), analogicznie \(\displaystyle{ |b|=|c|=1}\), czyli równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\), jeżeli wszystkie z a,b,c są dodatnie lub wszystkie są ujemne to \(\displaystyle{ |a+b+c| = 3}\) a \(\displaystyle{ |abc| = 1}\) sprzeczność. Jeżeli dokładnie jedna z \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest ujemna, bso \(\displaystyle{ a=-1 \ , \ b=c=1}\) równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 1 = -1}\) sprzeczność. Jeżeli dokładnie dwie z \(\displaystyle{ a,b,c}\) są ujemne, bso \(\displaystyle{ a=b=-1 \ , \ c=1}\) równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ -1=1}\) sprzeczność, więc dane równanie nie ma całkowitych rozwiązań.

Nie dubluj zadań.

[Jan Kraszewski]

To nie jest dubel: popatrz na godziny postów.

JK