wymierny pierwiastek

[spzkasia]

Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2}+n+1 }}\) jest liczba wymierną.

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue\sqrt{ n^{2}+n+1 }}\)

liczba pod pierwiastkiem jest liczbą naturalną,
jeżeli pierwiastek z niej ma być liczbą wymierną, to musi ona być kwadratem liczby naturalnej, większej od \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ n^2+n+1=(n+m)^2\ \ \ \ \blue m \ge 1}\)

\(\displaystyle{ n^2+n+1=n^2+2nm+m^2\ \ \ \to\ \ \ n+1=2nm+m^2\ \ \ \to\ \ \ \blue n=\frac{m^2-1}{1-2m}}\)

\(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, czyli \(\displaystyle{ n \ge 0\ \ \ \to\ \ \ \frac{m^2-1}{1-2m} \ge 0\ \ \ \to\ \ \blue\ m\in\left( -\infty,\ -1\right\rangle\cup\left(\frac12,\ 1 \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \ge 1 \\ m\in\left( -\infty,\ -1\right\rangle\cup\left(\frac12,\ 1 \right\rangle \end{cases} \ \ \ \ \to\ \ \ \ \bl m=1\ \ \ \ \to\ \ \ \ n=\frac{1^2-1}{1-2\cdot1}\ \ \ \to\ \ \ \red n=0}\)

[spzkasia]

Ale \(\displaystyle{ n \in N}\), więc \(\displaystyle{ n \neq 0}\)..

[smigol]

Niektórzy uznają \(\displaystyle{ 0}\) za liczbę naturalną, a niektórzy nie.

[Piotr Rutkowski]

Tak przy okazji należałoby udowodnić pomocniczo lemat, że pierwiastek liczby naturalnej jest wymierny \(\displaystyle{ \iff}\) gdy ta liczba jest kwadratem innej liczby naturalnej. Kiedy udowodnisz ten lemat wszystko jest konsekwencją nierówności:
\(\displaystyle{ n^{2}< n^{2}+n+1\leq n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}}\) obserwując kiedy nierówność słaba zamienia się w ostrą.

Pozdrawiam