udowodnij niewymierność
-
spzkasia
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 5 lut 2012, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 31 razy
udowodnij niewymierność
Czy wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\) jest wymierne?
-
czekoladowy
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
udowodnij niewymierność
\(\displaystyle{ x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ x-\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{2}+2-2x\sqrt{2}=8+2\sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6=2x\sqrt{2}+2\sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+36-12x^{2}=8x^{2}+60+8x\sqrt{30}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-20x^{2}-34=8x\sqrt{30}}\)
obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{8}-40x^{6}+332x^{4}+1360x^{2}+1156=1920x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{8}-40x^{6}+332x^{4}-560x^{2}+1156=0}\)
Wiemy, że nasza liczba jest pierwiastkiem powyższego wielomianu. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych jeżeli ma on pierwiastki wymierne to są one w tym wypadku dzielnikami wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że dzielniki \(\displaystyle{ 1156}\) nie zerują wielomianu, zatem nasz pierwiastek nie jest liczbą wymierną.
\(\displaystyle{ x-\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{2}+2-2x\sqrt{2}=8+2\sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6=2x\sqrt{2}+2\sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+36-12x^{2}=8x^{2}+60+8x\sqrt{30}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-20x^{2}-34=8x\sqrt{30}}\)
obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{8}-40x^{6}+332x^{4}+1360x^{2}+1156=1920x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{8}-40x^{6}+332x^{4}-560x^{2}+1156=0}\)
Wiemy, że nasza liczba jest pierwiastkiem powyższego wielomianu. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych jeżeli ma on pierwiastki wymierne to są one w tym wypadku dzielnikami wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że dzielniki \(\displaystyle{ 1156}\) nie zerują wielomianu, zatem nasz pierwiastek nie jest liczbą wymierną.