Dowód niewymierności

[spzkasia]

Wybaczcie jeśli pisze w nieodpowiednim miejscu.
Jak udowodnić, że wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{7+4 \sqrt{3} }-\sqrt{4-2\sqrt{3} }}\) jest niewymierne?

[chris_f]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ 7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ 4-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=1^2-2\cdot1\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\left(1-\sqrt{3}\right)^2}\)
No i Twoje wyrażenie ma postać
\(\displaystyle{ \sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}-
\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}=\left|2+\sqrt{3}\right|-\left|1-\sqrt{3}\right|=
(2+\sqrt{3})-(-1+\sqrt{3})=3}\)
a zatem wyrażenie jest wymierne.

[spzkasia]

Dziękuję! Mam jeszcze jedno tego typu zadanie, tym razem chodzi o wyrażenie\(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3}+ \sqrt{5}}\). Analogicznie chyba nie da się tego zrobić..