rozwiązać równanie

[zaklopotany93]

Proszę o pomoc z rozwiązaniem takiego równania \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = 1}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0\right\}}\)

[Kartezjusz]

1.Zauważmy,że jeśli choć dwie z tych liczb są sobie równe,to (Niech będą to \(\displaystyle{ b=c}\))Otrzymujemy wówczas \(\displaystyle{ \frac{c}{c}+ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=1}\)Jedynki się skasują
i Otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=0}\)
2.Mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ ab}\)
Mamy równość \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=0}\)która zachodzi tylko jeśli \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=0}\),a ten wypadek jest odrzucony z założenia .Przyjmijmy zatem,że .
3.Jeśli dwie liczby są przeciwne ( Niech \(\displaystyle{ b=-c}\))
to podobnie jak poprzednio otrzymamy równanie po obustronnym pomnożeniu przez -1
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=-2}\)Mnożąc przez \(\displaystyle{ ab}\) mamy
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=-2ab}\)
ale jak przeniesiemy \(\displaystyle{ -2ab}\)na drugą stronę mamy
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=-b=c}\)Wróciliśmy do odrzuconego przypadku
3.Możemy więc przyjąć,że \(\displaystyle{ |a| \neq |b| \neq |c|}\)
4. Bez straty ogólności możemy przyjąć,że \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) są parami względnie pierwsze,bo ewentualne wspólne dzielniki się skrócą.

5.Pomnóżmy przez \(\displaystyle{ abc}\) obustronnie. Otrzymamy
\(\displaystyle{ ab+bc+ac=abc}\).

6.Prawa strona dzieli się przez każdą z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) a w lewej któryś składnik sumy jakiejś niewiadomej nie posiada ,zatem
\(\displaystyle{ c|ab \vee b|ac \vee a|bc}\),a że założyliśmy,że a,b,c są względnie pierwsze parami to
\(\displaystyle{ c|a \vee c|b}\) , \(\displaystyle{ a|b \vee a|c}\), \(\displaystyle{ b|a \vee b|c}\)

7.Załóżmy,że \(\displaystyle{ c|a}\).Wówczas z uzyskanej różności w trzecim punkcie mamy(inaczej mamy odwrotności liczb całkowitych większych od 2,które nie są całkowite )
\(\displaystyle{ a|b}\) i \(\displaystyle{ b|c}\) czyli \(\displaystyle{ a|c}\)
Ale założyliśmy też,że \(\displaystyle{ c|a}\)czyli mamy rzecz możliwą jeśli \(\displaystyle{ |a|=|b|}\)Równanie nie ma więc rozwiązań całkowitych

[Ponewor]

5.Pomnóżmy przez \(\displaystyle{ abc}\) obustronnie. Otrzymamy
\(\displaystyle{ ab+bc+ac=abc}\).

Na pewno? Zresztą otrzymane przez ciebie równanie ma rozwiązanie.

[Koryfeusz]

Poprawna forma: \(\displaystyle{ a^2 c+a b (b-c)+b c^2=0}\)

Nie widzę niezerowych rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

[theoldwest]

Też mam takie zadanie - mógłby ktoś z was rozwiązać to równanie?

[Ponewor]

Mamy równanie \(\displaystyle{ a^{2}c + ab^{2}+bc^{2}=abc}\)
Co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) musi być ujemna, bo inaczej mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}c + ab^{2}+bc^{2} \ge 3 \sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=3abc>abc}\)

[theoldwest]

No dobrze, ale skoro co najmniej jedna jest ujemna to już samym szacowaniem nie pójdzie chyba.

[Ponewor]

Jasne, to tylko trop.
EDIT
per analogia co najmniej jedna musi być dodatnia.

[Vax]

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami względnie pierwsze (wszelkie możliwe wspólne dzielniki skracają nam się), równanie jest równoważne \(\displaystyle{ a^2c+b^2a+c^2b = abc}\), prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ a}\), więc lewa również, czyli \(\displaystyle{ a \mid bc^2}\), ale \(\displaystyle{ (a,b) = (a,c) = 1}\) skąd \(\displaystyle{ |a| = 1}\), analogicznie \(\displaystyle{ |b|=|c|=1}\), czyli równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\), jeżeli wszystkie z a,b,c są dodatnie lub wszystkie są ujemne to \(\displaystyle{ |a+b+c| = 3}\) a \(\displaystyle{ |abc| = 1}\) sprzeczność. Jeżeli dokładnie jedna z \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest ujemna, bso \(\displaystyle{ a=-1 \ , \ b=c=1}\) równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 1 = -1}\) sprzeczność. Jeżeli dokładnie dwie z \(\displaystyle{ a,b,c}\) są ujemne, bso \(\displaystyle{ a=b=-1 \ , \ c=1}\) równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ -1=1}\) sprzeczność, więc dane równanie nie ma całkowitych rozwiązań.

[theoldwest]

Vax, pokazałeś, że to równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c}\), parami względnie pierwszych, a co będzie gdy one nie są parami względnie pierwsze?

[smigol]

Napisał przecież

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami względnie pierwsze (wszelkie możliwe wspólne dzielniki skracają nam się)

.

[theoldwest]

Dlaczego więc \(\displaystyle{ \frac{k_1}{l_1}+\frac{l_2}{m_2}+\frac{m_1}{k_2}=1}\) gdzie \(\displaystyle{ (k_1,l_1)=(l_2,m_2)=(m_1,k_2)=1}\) nie ma rozwiązań w całkowitych różnych od zera? Wiem że napisał, ale nie wiem dlaczego to takie oczywiste.

[smigol]

W takim razie napisz czego konkretnie nie rozumiesz w rozwiązaniu zaproponowanym przez Vaxa.

[theoldwest]

Częściowo już napisałem, ale OK. No więc:

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami względnie pierwsze (wszelkie możliwe wspólne dzielniki skracają nam się)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ (a,b)=d_1,(a,c)=d_2,(b,c)=d_3}\) oraz \(\displaystyle{ a=d_1k_1=d_2k_2,b=d_1l_1=d_3l_2,c=d_2m_1=d_3m_2}\) dla pewnych całkowitych, różnych od zera \(\displaystyle{ k_1,k_2,l_1,l_2,m_1,m_2}\) gdzie \(\displaystyle{ (k_1,l_1)=(l_2,m_2)=(m_1,k_2)=1}\)

Skąd zatem "oczywisty" brak rozwiązań równania \(\displaystyle{ \frac{k_1}{l_1}+\frac{l_2}{m_2}+\frac{m_1}{k_2}=1}\)?

[smigol]

Wciąż nie rozumiem. Ten "oczywisty" brak rozwiązań jest uzasadniany w pięciu linijkach... Czego nie rozumiesz w tym uzasadnieniu?