Naturalne rozwiązania równania

[forget24]

Rozwiązać w zbiorze liczb naturalnych równanie:
\(\displaystyle{ x+y+z=x \cdot y \cdot z}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ x=1,\;y=2\;z=3}\) i jeszcze pięć symetrycznych rozwiązań. Sądzę, że to wszystkie rozwiązania. Pozostaje kwestia wykazania.

Skoro równanie jest symetryczne, można np. założyć, że \(\displaystyle{ x \le y \le z}\) i potem dopisywać pozostałe, permutowane, rozwiązania. W sytuacji takiego założenia mamy oczywiście jedno rozwiązanie, które napisałem. O ile wykażemy, że tak jest.

[Vax]

Równoważnie \(\displaystyle{ \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz} = 1}\), jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z \ge 2}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz} \le \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} < 1}\), więc co najmniej jedna z niewiadomych musi być równa \(\displaystyle{ 1}\), bez straty ogólności \(\displaystyle{ x=1}\) (równanie jest symetryczne), dostajemy \(\displaystyle{ 1+y+z = yz \iff (y-1)(z-1) = 2}\) a stąd od razu dostajemy \(\displaystyle{ (y,z) = (2,3) , (3,2)}\) skąd jedynymi naturalnymi rozwiązaniami są trójki \(\displaystyle{ (x,y,z) = (1,2,3)}\) ze wszystkimi permutacjami.

[szw1710]

Jak zwykle pięknie -- 28 lis 2012, o 12:45 --Wydaje się, że zadanie ma ogólniejszy wydźwięk. Wiąże się bezpośrednio z liczbami doskonałymi. Tutaj mieliśmy szóstkę w roli liczby doskonałej. Dla czterech składników nie ma liczby doskonałej, więc sądzę, że równanie

\(\displaystyle{ x+y+z+t=xyzt}\)

nie ma rozwiązań naturalnych. Natomiast dla pięciu składników i równania

\(\displaystyle{ x+y+z+t+u=xyztu}\)

mamy drugą liczbę doskonałą \(\displaystyle{ 28}\) z dzielnikami \(\displaystyle{ 1,2,4,7,14}\). Proponuję więc uoglnienie wyniku omawianego zadania.

[Ponewor]

To co napisałeś jest niestety nieprawdą. Niewiele jest liczb doskonałych które są równe iloczynowi wszystkich swoich dzielników (prócz siebie samej). Takie liczby w rozkładzie na czynniki mają mieć sumę wykładników nie większą od dwóch - inaczej mówiąc mogą być iloczynem co najwyżej dwóch niekoniecznie różnych liczb pierwszych. Jedyną taką liczbą doskonałą jest 6 - lekki dowód, podam później. Otrzymane przez ciebie rozwiązanie dla pięciu zmiennych jest błędne. Dla czterech zmiennych jest czwórka \(\displaystyle{ 1, \ 1, \ 2, \ 4}\) i jej permutacje. Dla pięciu zmiennych są dwie piątki: \(\displaystyle{ 1, \ 1, \ 1, \ 2, \ 5}\) i \(\displaystyle{ 1, \ 1, \ 2, \ 2, \ 2}\)

[szw1710]

Tak - przesadziłem z iloczynem. Więc trzeba by zmienić kwalifikację z bezpośredniego powiązania na pośrednie I oczywiście z liczbą \(\displaystyle{ 28}\) iloczyn nie wychodzi. Dzięki za czujność. Tym niemniej nawet bez tej złej motywacji zadanie chyba pozostaje interesujące.

EDIT Jeszcze bardziej interesujące po edycji poprzedniego posta. Proponuję więc w wersji z \(\displaystyle{ n}\) liczbami.