NWD i układ równań

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
blackbird936
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 lis 2011, o 13:28
Płeć: Kobieta
Podziękował: 53 razy

NWD i układ równań

Post autor: blackbird936 »

Podać liczbę rozwiązań układu

\(\displaystyle{ \begin{cases} NWD(x, y) = 37\\ 2x + 11y = 3219\end{cases}}\)

w liczbach naturalnych.




Podstawiam \(\displaystyle{ x'= \frac{x}{37}}\) i \(\displaystyle{ y'= \frac{y}{37}}\)

Zajmuję się drugim równaniem \(\displaystyle{ 2x' + 11y' = 87}\)

Rozwiązuje jako równanie diofantyczne
i wychodzi:
(\(\displaystyle{ t \in Z}\))

\(\displaystyle{ y'=87- 2 \cdot t}\)

\(\displaystyle{ x'=-435-11 \cdot t}\)

podstawiłam do x i y :

\(\displaystyle{ x= -16095 - 407 \cdot t}\)

\(\displaystyle{ y=3219-74 \cdot t}\)


No i wpadłam na pomysł żeby podstawić to do równania \(\displaystyle{ 2x + 11y = 3219}\) , chodzi o:
\(\displaystyle{ 2x + 11y -3219 > 0}\)

i wyszło mi że \(\displaystyle{ t>10117}\) żeby to równanie było dodatnie.

Tylko, że w zadaniu jest pytanie o liczbę rozwiązań... Wiem, że 4, ale jak do tego dojść ?
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

NWD i układ równań

Post autor: lukasz1804 »

Równanie \(\displaystyle{ 2x'+11y'=87}\) można rozwiązać bezpośrednio, ograniczając zakres możliwych wartości niewiadomych.
Po pierwsze, \(\displaystyle{ y'}\) musi być liczbą nieparzystą, po drugie liczbą nie większą od \(\displaystyle{ 7}\).
Łatwo sprawdzić, że dla każdej z liczb \(\displaystyle{ y'=1, y'=3, y'=5, y'=7}\) istnieje \(\displaystyle{ x'}\), taki że para \(\displaystyle{ (x',y')}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 2x'+11y'=87}\).

Tak naprawdę wyjściowy układ równań posiada \(\displaystyle{ 8}\) różnych rozwiązań traktowanych jako pary liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) - jeśli bowiem para \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest jego rozwiązaniem, to para \(\displaystyle{ (y,x)}\) także jest jego rozwiązaniem.
ODPOWIEDZ