Rozwiąż równania :
a) \(\displaystyle{ \phi (2x) = \phi (3x)}\)
b) \(\displaystyle{ \phi (x) = \frac{1}{2}x}\)
c) \(\displaystyle{ \phi (x) = \frac{2}{3} x}\)
Proszę o pomoc.
Funkcja Eulera.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Funkcja Eulera.
\(\displaystyle{ \varphi (2n) = \varphi (3n)}\)
Weźmy \(\displaystyle{ n=6k}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \varphi (12k) = \varphi (18k)\\\varphi (2 \cdot 6k) = \varphi (3 \cdot 6k)\\2 \varphi(6k)=3\varphi(6k) \\ \varphi(6k) = 0}\)
Brak rozwiązań. Analogicznie dla reszty. Dla \(\displaystyle{ 6k+2}\) i \(\displaystyle{ 6k+4}\) powinna wyjść tożsamość, tj. te dwa postępy arytmetyczne stanowią rozwiązanie.
Weźmy \(\displaystyle{ n=6k}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \varphi (12k) = \varphi (18k)\\\varphi (2 \cdot 6k) = \varphi (3 \cdot 6k)\\2 \varphi(6k)=3\varphi(6k) \\ \varphi(6k) = 0}\)
Brak rozwiązań. Analogicznie dla reszty. Dla \(\displaystyle{ 6k+2}\) i \(\displaystyle{ 6k+4}\) powinna wyjść tożsamość, tj. te dwa postępy arytmetyczne stanowią rozwiązanie.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Funkcja Eulera.
Ewentualne można tak:
a) Zapiszmy \(\displaystyle{ x = 2^{a_1}\cdot 3^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot p_4^{a_4} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}}\)
Dla pewnych parami różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\) (różnych od \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\)), gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{Z}_+}\) dla \(\displaystyle{ i\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 , a_2 \in \mathbb{Z}_+ \cup \lbrace 0 \rbrace}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \varphi(2x) = \varphi(3x) \iff \varphi(2^{a_1+1} \cdot 3^{a_2}\cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1}\cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) \\ \\ \iff \\ \\ \varphi(2^{a_1+1}\cdot 3^{a_2}) \cdot \varphi(p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1}) \cdot \varphi(p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) \\ \\ \iff \\ \\ \varphi(2^{a_1+1}\cdot 3^{a_2}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1})}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a_1=a_2=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2) = \varphi(3)}\) co jest sprzeczne, gdy \(\displaystyle{ a_1=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2\cdot 3^{a_2}) = \varphi(3^{a_2+1}) \iff 2\cdot 3^{a_2-1} = 2\cdot 3^{a_2} \iff 1 = 3}\) sprzeczność, więc \(\displaystyle{ a_1 \ge 1}\). W przypadku gdy \(\displaystyle{ a_2 = 0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2^{a_1+1}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3) \iff 2^{a_1} = 2\cdot 2^{a_1-1} \iff 0=0}\), co jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ a_1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ a_1 , a_2 \ge 1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 2^{a_1}\cdot 2\cdot 3^{a_2-1} = 2^{a_1-1}\cdot 2\cdot 3^{a_2} \iff 2 = 3}\) sprzeczność. Ostatecznie teza działa jedynie dla \(\displaystyle{ a_2=0}\), czyli dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ x}\) postaci:
\(\displaystyle{ x = 2^{a_1} \cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a_1 \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ p_i \neq 3}\), czyli dla liczb parzystych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\), co można zapisać jako liczby postaci \(\displaystyle{ x = 6k+2 \vee x = 6k+4}\) dla całkowitego nieujemnego \(\displaystyle{ k}\).
W podobny sposób możesz zrobić b,c. W (b) zauważ, że lewa strona jest naturalna, więc prawa też musi, więc \(\displaystyle{ x}\) musi być parzyste, zapisz odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze i popatrz co się musi dziać z tymi liczbami, tak samo (c).
a) Zapiszmy \(\displaystyle{ x = 2^{a_1}\cdot 3^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot p_4^{a_4} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}}\)
Dla pewnych parami różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\) (różnych od \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\)), gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{Z}_+}\) dla \(\displaystyle{ i\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 , a_2 \in \mathbb{Z}_+ \cup \lbrace 0 \rbrace}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \varphi(2x) = \varphi(3x) \iff \varphi(2^{a_1+1} \cdot 3^{a_2}\cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1}\cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) \\ \\ \iff \\ \\ \varphi(2^{a_1+1}\cdot 3^{a_2}) \cdot \varphi(p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1}) \cdot \varphi(p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}) \\ \\ \iff \\ \\ \varphi(2^{a_1+1}\cdot 3^{a_2}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3^{a_2+1})}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a_1=a_2=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2) = \varphi(3)}\) co jest sprzeczne, gdy \(\displaystyle{ a_1=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2\cdot 3^{a_2}) = \varphi(3^{a_2+1}) \iff 2\cdot 3^{a_2-1} = 2\cdot 3^{a_2} \iff 1 = 3}\) sprzeczność, więc \(\displaystyle{ a_1 \ge 1}\). W przypadku gdy \(\displaystyle{ a_2 = 0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \varphi(2^{a_1+1}) = \varphi(2^{a_1}\cdot 3) \iff 2^{a_1} = 2\cdot 2^{a_1-1} \iff 0=0}\), co jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ a_1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ a_1 , a_2 \ge 1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 2^{a_1}\cdot 2\cdot 3^{a_2-1} = 2^{a_1-1}\cdot 2\cdot 3^{a_2} \iff 2 = 3}\) sprzeczność. Ostatecznie teza działa jedynie dla \(\displaystyle{ a_2=0}\), czyli dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ x}\) postaci:
\(\displaystyle{ x = 2^{a_1} \cdot p_3^{a_3}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a_1 \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ p_i \neq 3}\), czyli dla liczb parzystych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\), co można zapisać jako liczby postaci \(\displaystyle{ x = 6k+2 \vee x = 6k+4}\) dla całkowitego nieujemnego \(\displaystyle{ k}\).
W podobny sposób możesz zrobić b,c. W (b) zauważ, że lewa strona jest naturalna, więc prawa też musi, więc \(\displaystyle{ x}\) musi być parzyste, zapisz odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze i popatrz co się musi dziać z tymi liczbami, tak samo (c).