wyznacz pary liczb

[Roni17]

Suma dwóch liczb naturlanych dodtanich wynosi 504 a ich najwiekszym wspolbym dzielnikiem jest 36. Wyznacz wszytskie pary liczb o tej wlasnosci

[Tristan]

Mamy, że \(\displaystyle{ x+y=504}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(x,y)=36}\). Możemy więc zapisać \(\displaystyle{ x=36a, y=36b}\), a wtedy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) i \(\displaystyle{ 36a+36b=504}\). Dzieląc ostatnie równanie przez 36 otrzymujemy \(\displaystyle{ a+b=14}\) skąd mamy \(\displaystyle{ a=1,b=13}\) lub \(\displaystyle{ a=3,b=11}\) lub \(\displaystyle{ a=5, b=9}\) i przypadki symetryczne. W sumie otrzymujemy sześć par (a,b), więc i rozwiązań będzie sześć.