Szereg odwrotności liczb pierwszych

[Timopumba]

Mam takie pytanie
Dlaczego ważnym zagadnieniem w rozmieszczeniu liczbach pierwszych jest to że:

"Szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny."

[szw1710]

Dla przykładu wynika z tego, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mało tego - dałoby się też wykazać, że w odpowiednich przedziałach istnieją liczby pierwsze. Np. zawsze pomiędzy \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\) istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. Mówię z pamięci, ale kto wie czy nie da się tego wykazać w oparciu o rozbieżność przywołanego szeregu.

[Zordon]

Mało tego - dałoby się też wykazać, że w odpowiednich przedziałach istnieją liczby pierwsze. Np. zawsze pomiędzy \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\) istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

Nie da się tego w prosty sposób wywnioskować z rozbieżności tego szeregu. Można sobie wymyślić dużo ciągów o rozbieżnym szeregu odwrotności, które nie mają takiej własności.