Wiem, że temat się już pojawiała, ale mam inny przykład i chciałabym zrozumieć metodę rozwiązania :
wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\)
Nieskończenie wiele liczb pierwszych
-
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 11 paź 2011, o 19:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 5 razy
Nieskończenie wiele liczb pierwszych
tak, ale widziałam tu rozwiązania dla innych postaci liczb, z iloczynem, więc pomyślałam, że może dla tej liczby też można tak napisać.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Nieskończenie wiele liczb pierwszych
Lemat: Każda liczba postaci \(\displaystyle{ 6k+5}\) ma dzielnik pierwszy tej samej postaci.
Załóżmy, że liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\) jest skończenie wiele.
Niech będą to liczby \(\displaystyle{ p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, \ldots, \ p_{m}}\). Rozważmy liczbę \(\displaystyle{ n=6p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{m}-1}\). Zgodnie z lematem \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6l-1}\).
Niech \(\displaystyle{ p_{i}|n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) mniejszego równego \(\displaystyle{ m}\). Zatem \(\displaystyle{ p_{i}|-1}\). Jednak nie istnieją liczby pierwsze, będące dzielnikami \(\displaystyle{ -1}\).
Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.
Dowód lematu:
Niech będą to liczby \(\displaystyle{ p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, \ldots, \ p_{m}}\). Rozważmy liczbę \(\displaystyle{ n=6p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{m}-1}\). Zgodnie z lematem \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6l-1}\).
Niech \(\displaystyle{ p_{i}|n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) mniejszego równego \(\displaystyle{ m}\). Zatem \(\displaystyle{ p_{i}|-1}\). Jednak nie istnieją liczby pierwsze, będące dzielnikami \(\displaystyle{ -1}\).
Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.