Nieskończenie wiele liczb pierwszych

[Swider]

Wiem, że temat się już pojawiała, ale mam inny przykład i chciałabym zrozumieć metodę rozwiązania :

wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\)

[Ponewor]

Twierdzenie Dirichleta znasz?

[Swider]

tak, ale widziałam tu rozwiązania dla innych postaci liczb, z iloczynem, więc pomyślałam, że może dla tej liczby też można tak napisać.

[Ponewor]

Lemat: Każda liczba postaci \(\displaystyle{ 6k+5}\) ma dzielnik pierwszy tej samej postaci.

Dowód lematu:    

Załóżmy wbrew tezie, że liczb \(\displaystyle{ n}\) równa \(\displaystyle{ 6k+5}\) nie ma dzielników postaci \(\displaystyle{ 6l+5}\). Liczba \(\displaystyle{ n}\) jako liczba nieparzysta i niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) może mieć zatem dzielniki pierwsze postaci jedynie \(\displaystyle{ 6k+1}\). Z jednej strony \(\displaystyle{ n}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\), zaś z drugiej \(\displaystyle{ 5}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi słuszności lematu.

Załóżmy, że liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\) jest skończenie wiele.
Niech będą to liczby \(\displaystyle{ p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, \ldots, \ p_{m}}\). Rozważmy liczbę \(\displaystyle{ n=6p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{m}-1}\). Zgodnie z lematem \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6l-1}\).
Niech \(\displaystyle{ p_{i}|n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) mniejszego równego \(\displaystyle{ m}\). Zatem \(\displaystyle{ p_{i}|-1}\). Jednak nie istnieją liczby pierwsze, będące dzielnikami \(\displaystyle{ -1}\).
Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.

[Swider]

Dziękuję bardzo.