\(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot b = c \cdot d}\)
Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{(a, c) \cdot (a, d)}{(a, b, c, d)} = a}\)
Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązaniu zadania, gdyż niestety mimo wielu prób nie udało mi się go rozwiązać.
Dowód równania z NWD
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowód równania z NWD
Zapiszmy \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze:
\(\displaystyle{ a = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \\ \\ \\ b = p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2} \cdot ... \cdot p_k^{b_k} \\ \\ \\ c = p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2} \cdot ... \cdot p_k^{c_k} \\ \\ \\ d = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot ... \cdot p_k^{d_k}}\)
Z założenia wynika, że \(\displaystyle{ d_i = a_i+b_i-c_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,k}\), wstawiamy to do naszej tezy i dostajemy równoważnie do pokazania, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{p_1^{\min(a_1,c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,c_k)}\cdot p_1^{\min(a_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2 , a_2+b_2-c_2)} \cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,a_k+b_k-c_k)}}{p_1^{\min(a_1,b_1,c_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,b_2,c_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k+b_k,c_k,a_k+b_k-c_k)}} = \\ \\ = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k} \\ \\ \iff \\ \\ p_1^{\min(a_1,c_1)+\min(a_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,c_2)+\min(a_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,c_k)+\min(a_k,a_k+b_k-c_k)} = p_1^{a_1+\min(a_1,b_1,c_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{a_2+\min(a_2,b_2,c_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{a_k+\min(a_k,b_k,c_k,a_k+b_k-c_k)}}\)
Trzeba więc pokazać, że wykładniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ p_i}\) po obu stronach są równe, czyli wystarczy pokazać, że dla dowolnych całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \min(x,z)+\min(x,x+y-z) = x + \min(x,y,z,x+y-z)}\)
A to można już łatwo wykazać rozpatrując parę przypadków (\(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\) itd..)
\(\displaystyle{ a = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \\ \\ \\ b = p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2} \cdot ... \cdot p_k^{b_k} \\ \\ \\ c = p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2} \cdot ... \cdot p_k^{c_k} \\ \\ \\ d = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot ... \cdot p_k^{d_k}}\)
Z założenia wynika, że \(\displaystyle{ d_i = a_i+b_i-c_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,k}\), wstawiamy to do naszej tezy i dostajemy równoważnie do pokazania, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{p_1^{\min(a_1,c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,c_k)}\cdot p_1^{\min(a_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2 , a_2+b_2-c_2)} \cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,a_k+b_k-c_k)}}{p_1^{\min(a_1,b_1,c_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,b_2,c_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k+b_k,c_k,a_k+b_k-c_k)}} = \\ \\ = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k} \\ \\ \iff \\ \\ p_1^{\min(a_1,c_1)+\min(a_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{\min(a_2,c_2)+\min(a_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{\min(a_k,c_k)+\min(a_k,a_k+b_k-c_k)} = p_1^{a_1+\min(a_1,b_1,c_1,a_1+b_1-c_1)}\cdot p_2^{a_2+\min(a_2,b_2,c_2,a_2+b_2-c_2)}\cdot ... \cdot p_k^{a_k+\min(a_k,b_k,c_k,a_k+b_k-c_k)}}\)
Trzeba więc pokazać, że wykładniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ p_i}\) po obu stronach są równe, czyli wystarczy pokazać, że dla dowolnych całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \min(x,z)+\min(x,x+y-z) = x + \min(x,y,z,x+y-z)}\)
A to można już łatwo wykazać rozpatrując parę przypadków (\(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\) itd..)