Mam do rozwiązania układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 17\pmod{24} \\ x \equiv 13\pmod{20} \\ x \equiv 38\pmod{45} \end{cases}}\)
Przekształciłem ten układ do równoważnego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1\pmod4 \\ x \equiv 3\pmod5 \\ x \equiv 2\pmod9 \end{cases}}\)
Rozwiązałem i wyszło mi \(\displaystyle{ x=180s+153}\) , \(\displaystyle{ s \in Z}\)
Jednak dla np. \(\displaystyle{ s=0}\) układ wyjsciowy nie jest spełniony... Gdzie zrobiłem błąd?
Układ kongruencji - gdzie leży błąd?
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Układ kongruencji - gdzie leży błąd?
Po pierwsze, źle rozwiązałeś ten nowy układ kongruencji. Po drugie, wyjściowy układ nie jest równoważny Twojemu, w pierwszym równaniu powinieneś mieć modulo 8, a nie 4. W końcu, coś ze sprytniejszych metod, popatrz co się dzieje, gdy dodasz 7 do każdego równania z wyjściowego układu.
-
fuqs
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ kongruencji - gdzie leży błąd?
Ok, przedstawię cały mój tok rozumowania (zależy mi na zlokalizowaniu błędów)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 17\pmod{24} \\ x \equiv 13\pmod{20} \\ x \equiv 38\pmod{45} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 17\pmod{3} \\ x \equiv 17\pmod{2} \\ x \equiv 17\pmod{4} \\ x \equiv 13\pmod{4} \\ x \equiv 13\pmod{5} \\ x \equiv 38\pmod{9} \\ x \equiv 38\pmod{5}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 2\pmod{3} \\ x \equiv 1\pmod{2} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \\ x \equiv 3\pmod{5}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 2\pmod{3} \\ x \equiv 1\pmod{2} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \end{cases}}\)
No i teraz rozwiązuję:
\(\displaystyle{ x=1+4q \\
1+4q\equiv 3\pmod{5} \\
4q\equiv 2\pmod{5} \\
16q\equiv 8\pmod{5} \\
q\equiv 3\pmod{5} \\
\\
q=3+5s \\
3+5s\equiv 2\pmod{9}\\
5s\equiv 8\pmod{9}\\
s\equiv 7\pmod{9}\\
\\
s=9u+7}\)
No i dalej po prostupodstawiam kolejno i wychodzi \(\displaystyle{ x=180u+153}\)
Kurde bardziej nawet mi zależy na napisaniu dlaczego mój sposob rozwiązania tego drugiego układu nie jest porpawny ;/ no bo 9 nie dzieli 153-2-- 19 listopada 2012, 14:18 --OK już wszystko wiem
3,2 i 4 nie są parami wzglednie pierwsze, stad uklady nie sa potem rownowazne
zas jesli chodzi o sposob rozwiazywania drugiego ukladu to po prostu zlle podstawialem.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 17\pmod{24} \\ x \equiv 13\pmod{20} \\ x \equiv 38\pmod{45} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 17\pmod{3} \\ x \equiv 17\pmod{2} \\ x \equiv 17\pmod{4} \\ x \equiv 13\pmod{4} \\ x \equiv 13\pmod{5} \\ x \equiv 38\pmod{9} \\ x \equiv 38\pmod{5}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 2\pmod{3} \\ x \equiv 1\pmod{2} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \\ x \equiv 3\pmod{5}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 2\pmod{3} \\ x \equiv 1\pmod{2} \\ x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 1\pmod{4} \\ x \equiv 3\pmod{5} \\ x \equiv 2\pmod{9} \end{cases}}\)
No i teraz rozwiązuję:
\(\displaystyle{ x=1+4q \\
1+4q\equiv 3\pmod{5} \\
4q\equiv 2\pmod{5} \\
16q\equiv 8\pmod{5} \\
q\equiv 3\pmod{5} \\
\\
q=3+5s \\
3+5s\equiv 2\pmod{9}\\
5s\equiv 8\pmod{9}\\
s\equiv 7\pmod{9}\\
\\
s=9u+7}\)
No i dalej po prostupodstawiam kolejno i wychodzi \(\displaystyle{ x=180u+153}\)
Kurde bardziej nawet mi zależy na napisaniu dlaczego mój sposob rozwiązania tego drugiego układu nie jest porpawny ;/ no bo 9 nie dzieli 153-2-- 19 listopada 2012, 14:18 --OK już wszystko wiem
3,2 i 4 nie są parami wzglednie pierwsze, stad uklady nie sa potem rownowazne
zas jesli chodzi o sposob rozwiazywania drugiego ukladu to po prostu zlle podstawialem.