Trójki pitagorejskie z liczbą pierwszą

[metamatyk]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=p}\)
Udało mi się znaleźć kilka rozwiązań. Jak znaleźć wszystkie?

Znalezienie tych liczb pomoże mi wyznaczyć "dużo" rozwiązań r-nia

\(\displaystyle{ x^2+y^2+w^2=z^2}\)

Każda czwórka \(\displaystyle{ (x,y,\frac{p-1}{2},\frac{p+1}{2})}\), gdzie \(\displaystyle{ x^2+y^2=p}\) jest jego rozwiązaniem.

[Sylwek]

Jeśli \(\displaystyle{ p=4k+3}\), to rozwiązań nie będzie (z powodu modulo 4), w dowolnym innym przypadku liczba \(\displaystyle{ p \in \mathbb{P}}\) ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych. Jest to Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów. Dowód znajdziesz w "Teoria liczb" Sierpińskiego.

Czy to wystarczy w Twoim problemie?

[metamatyk]

Super! Dziękuję