Podzielność przez 7

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Swider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 11 paź 2011, o 19:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 5 razy

Podzielność przez 7

Post autor: Swider »

Wykaz, ze jezeli \(\displaystyle{ n,m}\)sa liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ 7|(a^{6m} + a^{6n}),}\)to liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez 7.

Jak rozwiązać takie zadanie?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Podzielność przez 7

Post autor: Vax »

Nie wprost, niech \(\displaystyle{ 7 \nmid a}\), ale wówczas z małego twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ a^6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow a^{6m} \equiv 1\pmod{7} \wedge a^{6n} \equiv 1\pmod{7} \Rightarrow a^{6m}+a^{6n} \equiv 2\pmod{7}}\)

sprzeczność.
ODPOWIEDZ