Nierówność z mantysą i wartością bezwzględną

[Grzanka]

Jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ \{|a|\}\leq|a-b|}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{IQ}, b\in\mathbb{Z}}\)?

[Sylwek]

To nie jest prawda, na przykład \(\displaystyle{ a=\sqrt{3}, b=2}\).

[Grzanka]

hmm.... to skąd wiadomo, że z tego równania (\(\displaystyle{ q\geq 2, q\in\mathbb{Z}, p\in\mathbb{Z}, r\in\mathbb{IQ}}\))
\(\displaystyle{ \left|qr-p\right|\le\frac{1}{q}\leq\varepsilon}\)

wynika to
\(\displaystyle{ \{qr\}\le\varepsilon}\)

albo to
\(\displaystyle{ \{-qr\}\le\varepsilon}\).

Mój pomysł to jedynie:

\(\displaystyle{ \left\{|qr|\right\}\leq\left\{|qr|-|p|\right\}\leq\left\{|qr-p\right|\}\leq\left|qr-p\right|\leq\frac{1}{q}\le\varepsilon}\)
jednak on sprawdza się tylko dla p<0.

Prosze o pomoc, podpowiedź.