Wyznacz cyfrę jedności (suma potęg liczb sprzężonych)

Paulina-Anna · Post autor: **Paulina-Anna** » 17 lis 2012, o 21:23

Cześć.
Nie wiem, jak zabrać się do takiego zadania:

Wyznacz cyfrę jednosci liczby: $\displaystyle{ (1- \sqrt{3} )^{2000} + (1+ \sqrt{3} ) ^{2000}}$

Zadanie byłoby bardzo proste, gdyby nie ten pierwiastek. Proszę o pomoc, jakąś wskazówkę, trik

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 17 lis 2012, o 21:24

A policz to dla $\displaystyle{ 2}$ zamiast $\displaystyle{ 2000}$. A nawet dla $\displaystyle{ 1}$ też możesz, by zaobserwować pewną regułę, co się z tym pierwiastkiem dzieje .

Paulina-Anna · Post autor: **Paulina-Anna** » 17 lis 2012, o 21:48

No dobrze, ale co z cyfrą jedności? Jaka tu jest reguła?

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 18 lis 2012, o 00:46

Mamy policzyć cyfrę jedności liczby $\displaystyle{ (1-\sqrt{3})^{2000}+(1+\sqrt{3})^{2000}}$. Jako że rozwijanie tego według wzoru dwumianowego Newtona nie zachęca, spróbujemy zrobić to inaczej (oczywiście poniższy sposób nie jest jedyną możliwością podejścia do tego zadania, ale po zauważeniu pewnej zależności, jest to chyba najszybsza metoda [a może nie...]).

Sprytny trik będzie polegał na tym, że da się wyrazić $\displaystyle{ x^n+y^n}$ (oznaczmy $\displaystyle{ a_n=x^n+y^n}$) za pomocą $\displaystyle{ a_{n-1}, a_{n-2}}$, a także $\displaystyle{ p=x+y}$ oraz $\displaystyle{ q=xy}$ (to tak zwana metoda wielomianów symetrycznych i uogólnia się to na wielomiany większej liczby zmiennych). Z taką podpowiedzią, za pomocy metody "co tu powinniśmy wstawić", łatwo dochodzimy do wniosku, że

$\displaystyle{ $\begin{align*}a_n=x^n+y^n=(x+y) \cdot (x^{n-1}+y^{n-1})-xy \cdot (x^{n-2}+y^{n-2})=p \cdot a_{n-1} - q \cdot a_{n-2}\end{align*}$}$.

U nas $\displaystyle{ p=2}$ i $\displaystyle{ q=-2}$ (czyli $\displaystyle{ a_n=2(a_{n-1}+a_{n-2})}$ dla $\displaystyle{ n \ge 2}$), a warunki początkowe to $\displaystyle{ a_0=2}$ oraz $\displaystyle{ a_1=2}$.

No i dalej szukasz powtarzalności w ciągu ostatnich cyfr $\displaystyle{ a_n}$ (nie zniechęcaj się zbyt szybko, być może trochę wyrazów będziesz musiała policzyć, poza tym wystarczy operować na ciągu $\displaystyle{ a_n}$ modulo 5, gdyż ostatnia cyfra na pewno będzie liczbą parzystą).

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 18 lis 2012, o 01:20

Rozważmy ciąg:
$\displaystyle{ a_n = \left(1-\sqrt{3}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{3}\right)^{n}}$

($\displaystyle{ 2000}$ jest postaci $\displaystyle{ 24k+8}$ dla $\displaystyle{ k}$ naturalnego)

Po rozpisaniu z dwumianu Newtona:

$\displaystyle{ a_n = \sum _{i=0}^n \left((-1)^i \sqrt{3^i} {n \choose i}+\sqrt{3^i} {n \choose i}\right)}$

Dla parzystych $\displaystyle{ n}$ wzór redukuje się do postaci:

$\displaystyle{ a_{2n} = \sum _{i=0}^n 2 \cdot 3^i {2n \choose 2i}}$

Kluczem do rozwiązania zagadki jest zauważenie, że dla każdego $\displaystyle{ i\in\{0,1,\ldots,1000\}\setminus\{0,750,1250,2000\}}$ zachodzi:

$\displaystyle{ 2 \cdot 3^i {2000 \choose 2i} \equiv 0 \pmod {10}}$

Suma pozostałych przystaje do $\displaystyle{ 4}$.