Witam wszystkich! Mam prośbę, bo jak to mówią, "łatwe rzeczy dowodzi się najtrudniej" więc mam przeprowadzić trzy dowody, dla mnie poniższe stwierdzenia są oczywiste i nie bardzo wiem jak zapisać dowody:
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N _{0}}\) rozpatrzmy podział \(\displaystyle{ {{ \frac{l}{10 ^{n}} : l \in Z}}\) zbioru liczb rzeczywistych na odcinku długości \(\displaystyle{ \frac{1}{10 ^{n} }}\) ; oznaczmy przez \(\displaystyle{ l _{n}}\) jedyną taką liczbę \(\displaystyle{ l \in Z}\), że
\(\displaystyle{ \frac{l}{10 ^{n} } \le u < \frac{l+1}{10 ^{n} }}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{l _{n} }{10 ^{n} } \le u < \frac{l _{n} +1}{10 ^{n} } , n \in N _{0}}\)
Liczbę \(\displaystyle{ \frac{l _{n} }{10 ^{n} }}\) nazywamy n-tym przybliżeniem ułamka dziesiętnego \(\displaystyle{ u}\) z niedomiarem.
Można dowieść, że :
1) dla każdego \(\displaystyle{ n \in N _{0}}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c _{n+1} \in {0,1,...,9}}\), że
\(\displaystyle{ \frac{l _{n+1} }{10 ^{n+1} }= \frac{l _{n}}{10 ^{n}} + \frac{c _{n+1}}{10 ^{n+1}}}\)
2) istnieje takie \(\displaystyle{ n _{0} \in N _{0}}\), że ciąg \(\displaystyle{ (c _{n}) _{n \ge n _{0} }}\) jest okresowy, a więc dla pewnego \(\displaystyle{ k \in N}\) mamy
\(\displaystyle{ c _{n+k}=c _{n}}\) \(\displaystyle{ n \ge n _{0}}\)
3) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{l _{n} }{10 ^{n} }=u}\)
-- 15 lis 2012, o 20:37 --
Zrobiłam to na przykładzie biorąc konkretny ułamek, jednak to jest za mało i mam zapisać precyzyjny dowód.
1) Próbowałam zrobić to przez dowód nie wprost ale utknęłam zaraz na początku przy zapisie, że
Załóżmy, że istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n \in N _{0}}\) że dla każdej liczby \(\displaystyle{ c _{n+1} \in {0,1,...9}}\) zachodzi podana równość
...
i nie wiem jak dalej zapisać-- 15 lis 2012, o 21:17 --Może ma ktoś jakieś wskazówki, porady...
Bardzo proszę o pomoc...