Udowodnij, ze rożnica czwartych potęg dwuch liczb calkowitych różniących się o 2 jest podzielna przez 16.
Zalorzenia:x nalezy do liczb Całkowitych
Dowód:\(\displaystyle{ (k+2) ^{4} -k ^{4} = 8(k ^{3} +3k ^{2} +4k)}\)
Jak tozlorzyc wyraz w nawiasie na iloraz dwuch czynnikow lub jak inaczej to zrobic?
Z góry dziękuje za odpowiedź.
Dowód -różnica potęg
-
Kappurubea
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 18 sty 2012, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podlaskie
- Podziękował: 6 razy
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Dowód -różnica potęg
\(\displaystyle{ 8\left( k^3+3k+4k\right)=8\left( k+1\right) \left( k^2+2k+2\right)}\)
To coś jest na pewno podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\), a ma być podzielne przez \(\displaystyle{ 8 \cdot 2}\). Trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \left( k+1\right) \left( k^2+2k+2\right)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ k+1}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ k^2+2k+2}\) parzyste. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej jest parzysty.
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ k+1}\) jest parzyste, a \(\displaystyle{ k^2+2k^2}\) nieparzyste. Znowu mamy iloczyn liczby parzystej i nieparzystej, który jest parzysty, a więc podzielny przez 2.
To coś jest na pewno podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\), a ma być podzielne przez \(\displaystyle{ 8 \cdot 2}\). Trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \left( k+1\right) \left( k^2+2k+2\right)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ k+1}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ k^2+2k+2}\) parzyste. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej jest parzysty.
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ k+1}\) jest parzyste, a \(\displaystyle{ k^2+2k^2}\) nieparzyste. Znowu mamy iloczyn liczby parzystej i nieparzystej, który jest parzysty, a więc podzielny przez 2.