Wykazać, że wartość funkcji równa jest reszcie z dzielenia..

[8uk4]

Jak wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\) należącego do \(\displaystyle{ \NN^+}\) , wartość funkcji \(\displaystyle{ f: \ZZ \rightarrow \NN}\) , określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x-p\left\lfloor \frac{x}{p} \right\rfloor}\) jest równa reszcie z dzielenia \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ p}\). Nie potrafię sobie z tym poradzić. nawias we wzorze funkcji domyka się tylko od dołu ( chodzi chyba o podłogę). Proszę o pomoc


podłoga to lfloor oraz
floor
aby uzyskać skalowanie (odpowiedni rozmiar) można użyć leftlfloor oraz
ight
floor.

scyth

[MadJack]

Zapisz \(\displaystyle{ x=kp+r}\) i skorzystaj z własności części całkowitej: jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ [n+a]=n+[a]}\).

[8uk4]

Więc robię to poprzez indukcję?
\(\displaystyle{ x=kp + r

f(x)=x-(p+1)\left[ \frac{x}{p+1} \right] 1 \in Z \Rightarrow \left[ p+1\right] = \left[ p\right] +1

f(x)= x-p-1 \left[ \frac{x}{p} \right] +1

f(x)= x-p\left[ \frac{x}{p} \right] .}\)

[MadJack]

Źle. Kolejna podpowiedź:
\(\displaystyle{ \frac{kp+r}{p}=k + \frac{r}{p}}\)

[8uk4]

Ok. Wydaje mi się, że tym razem dobrze:

\(\displaystyle{ f(x)=x-p \lfloor \frac{kp+r}{p} \rfloor = x-p \lfloor k+ \frac{r}{p} \rfloor = kp+r-p(k+ \lfloor \frac{r}{p} \rfloor) =kp+r-pk-p \lfloor \frac{r}{p} \rfloor =r-p \lfloor \frac{r}{p} \rfloor}\)

jako że reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika to

\(\displaystyle{ r-p \lfloor \frac{r}{p} \rfloor = r

\lfloor \frac{r}{p} \rfloor = 0}\)

[MadJack]

Dobrze, tylko po pierwszym znaku równości wkradła Ci się literówka: powinno być \(\displaystyle{ kp+r}\) zamiast \(\displaystyle{ kp+1}\). A tak to jest OK